Se
é uma matriz
, definimos o seu traço por
.
(a)
Mostre que o conjunto
das matrizes que tem traço igual a zero é um subespaço vetorial de
.
(b)
Se
e
então o único autovalor de A é
.
(c)
Mostre que se
e
, então
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado fala de matrizes
reais e define o traço por
. Precisamos mostrar:
- O conjunto
é subespaço vetorial. - Se
e , então o único autovalor de é . - Nessas mesmas hipóteses,
.
Vamos usar: teste de subespaço (contém o zero, fechado em soma e escalar), polinômio característico de umae o Teorema de Cayley–Hamilton.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço de
.
Primeiro, a matriz zero tem
, então
.
Em seguida, sejam e
. Então
e
.
Logo e
. Assim
é subespaço vetorial.
Primeiro, a matriz zero
Em seguida, sejam
e
Logo
Passo 3
Para achar os autovalores de
, usamos o polinômio característico em dimensão 2:
Se
e
, então
As raízes de
são apenas
(multiplicidade 2). Portanto o único autovalor de
é
.
Passo 4
Pelo Teorema de Cayley–Hamilton temos
, ou seja
Com
e
, isso vira
Logo
é a matriz zero em
.
Resposta
(a)
é subespaço porque contém o zero e é fechado em soma e multiplicação por escalar.
(b) O polinômio característico é , logo o único autovalor é
.
(c) Pela Cayley–Hamilton, .
(b) O polinômio característico é
(c) Pela Cayley–Hamilton,