Se A=(ai j)1 <= i, j <= 2 é uma matriz 2 times 2, definimos o seu traço por tr(A)=a11+a22.
(a) (0,2) Mostre que o conjunto V das matrizes que tem traço igual a zero é um subespaço vetorial de M2 times 2(R).
(b) (0,2) Se tr(A)=0 e det(A)=0 então o único autovalor de A é lambda=0.
(c) (0,4) Mostre que se tr(A)=0 e det(A)=0, então A^2=0 in M2 times 2(R).

Passo 1

O enunciado fala de matrizes 2times2 reais e define o traço por tr(A)=a11+a22. Precisamos mostrar:
  1. O conjunto V=Ain M2times2(R)mid tr(A)=0 é subespaço vetorial.
  2. Se tr(A)=0 e det(A)=0, então o único autovalor de A é lambda=0.
  3. Nessas mesmas hipóteses, A^2=0.
    Vamos usar: teste de subespaço (contém o zero, fechado em soma e escalar), polinômio característico de uma 2times2 e o Teorema de Cayley–Hamilton.

Passo 2

Mostramos que V é subespaço de M2times2(R).
Primeiro, a matriz zero 0 tem tr(0)=0+0=0, então 0in V.
Em seguida, sejam A,Bin V e alphainR. Então
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0+0=0
e
tr(alpha A)=alpha,tr(A)=alphacdot0=0.
Logo A+Bin V e alpha Ain V. Assim V é subespaço vetorial.

Passo 3

Para achar os autovalores de A, usamos o polinômio característico em dimensão 2:
p(lambda)=det(A-lambda I)=lambda^2-l(tr(A)r)lambda+det(A)
Se tr(A)=0 e det(A)=0, então
p(lambda)=lambda^2
As raízes de p são apenas lambda=0 (multiplicidade 2). Portanto o único autovalor de A é lambda=0.

Passo 4

Pelo Teorema de Cayley–Hamilton temos p(A)=0, ou seja
A^2-l(tr(A)r)A+det(A),I=0
Com tr(A)=0 e det(A)=0, isso vira
A^2 = 0
Logo A^2 é a matriz zero em M2times2(R).

Resposta

(a) V é subespaço porque contém o zero e é fechado em soma e multiplicação por escalar.
(b) O polinômio característico é p(lambda)=lambda^2, logo o único autovalor é lambda=0.
(c) Pela Cayley–Hamilton, A^2=0.

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