Sejam
e
, diferenciáveis com
e
, para todo
. Suponha que a imagem de
esteja contida na interseção do gráfico de
com a superfície
. Sabendo que
, determine uma equação para a reta tangente a
neste ponto.
Passo 1
O enunciado diz que a curva
está contida na interseção de duas superfícies em
:
- O gráfico de
, que podemos escrever como
- A superfície
Precisamos achar a reta tangente a
no ponto
. Para isso vamos usar que, numa curva como interseção de duas superfícies, o vetor tangente é perpendicular aos dois vetores normais
e
.
Passo 2
Calculemos primeiro os normais em
.
Como , temos
Como
Logo
Passo 3
Agora as derivadas de
:
Em
isso vale
ou seja
Passo 4
O vetor tangente
é dado por
Fazendo o produto vetorial:
Passo 5
A reta tangente em
com direção
tem equação paramétrica