Sejam f: R^2 R e gamma: R R^3, diferenciáveis com nabla f(1,0)=(2,1) e gamma^prime(t) neq(0,0,0), para todo t in R. Suponha que a imagem de gamma esteja contida na interseção do gráfico de f com a superfície z^3+x^3+y z+x y^3=0. Sabendo que (1,0,-1) in Im gamma, determine uma equação para a reta tangente a gamma neste ponto.

Passo 1

O enunciado diz que a curva gamma(t) está contida na interseção de duas superfícies em R^3:
  1. O gráfico de f, que podemos escrever como
H(x,y,z)=z - f(x,y)=0,
  1. A superfície
G(x,y,z)=z^3+x^3+y,z+x,y^3=0
Precisamos achar a reta tangente a gamma no ponto (1,0,-1). Para isso vamos usar que, numa curva como interseção de duas superfícies, o vetor tangente é perpendicular aos dois vetores normais nabla H e nabla G.

Passo 2

Calculemos primeiro os normais em (1,0,-1).
Como nabla f(1,0)=(2,1), temos
fx(1,0)=2, fy(1,0)=1
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nabla H(x,y,z) =l(-fx(x,y),,-fy(x,y),,1r) ;Longrightarrow; nabla H(1,0,-1)=(-2,,-1,,1)

Passo 3

Agora as derivadas de
G(x,y,z)=z^3+x^3+y,z+x,y^3:
Gx=3x^2+y^3, Gy=z+3x,y^2, Gz=3z^2+y
Em (1,0,-1) isso vale
Gx(1,0,-1)=3, Gy(1,0,-1)=-1, Gz(1,0,-1)=3,
ou seja
nabla G(1,0,-1)=(3,,-1,,3)

Passo 4

O vetor tangente v é dado por
v =nabla H(1,0,-1)timesnabla G(1,0,-1) =(-2,-1,1)times(3,-1,3)
Fazendo o produto vetorial:
v =l((-1)cdot3 - 1cdot(-1), -(-2cdot3 -1cdot3), (-2)cdot(-1)-(-1)cdot3r) =(-2,;9,;5)

Passo 5

A reta tangente em (1,0,-1) com direção v=(-2,9,5) tem equação paramétrica
x=1 - 2,t, y=0 + 9,t, z=-1 + 5,t

Resposta

boxed(x,y,z)=(1,0,-1)+t,(-2,9,5), tinR

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