Seja
uma base do espaço vetorial
sobre o corpo
. Dado um número real
, considere
o operador definido por
(a)
Mostre que
é um operador linear.
(b)
Obtenha a matriz que representa o operador
na base
.
(c)
Para quais valores de
temos que
não é bijetora?
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial
sobre
, com base
, e define o operador
onde
.
Vamos (a) mostrar que é linear, (b) encontrar a matriz de
na base
e (c) achar para quais
ela não é bijetora.
Vamos (a) mostrar que
Passo 2
Para verificar a linearidade de
, tomemos
e
. Como a derivada é linear, temos
e
Logo,
é linear.
Passo 3
Vamos calcular
em cada vetor da base e expressar as imagens em coordenadas na base
.
Para
:
Em coordenadas na base
,
Para
f(t)=e^t :
Em coordenadas,
Para
f(t)=t e^t :
Em coordenadas,
Passo 4
A matriz de
T na base
beta tem como colunas os vetores
[T(1)]beta ,
[T(e^t)]beta e
[T(t e^t)]beta . Assim,
Passo 5
Um operador linear em espaço finito é bijetor sse sua matriz é invertível, i.e.\ seu determinante é não nulo. Como a matriz é triangular,
Logo
det[T]beta=0 exatamente quando
c=0 ou
c=-1 . Para esses valores de
c ,
T não é bijetora.
Resposta
(a)
T é linear por propriedades da derivada.
(b)
(b)
(c)
T não é bijetora quando
c=0 ou
c=-1 .