Seja beta=1, e^t, t e^t uma base do espaço vetorial V sobre o corpo R. Dado um número real c, considere T: V V o operador definido por
T[f](t)=d^2 f(t)d t^2+c f(t)
(a) (0,2) Mostre que T é um operador linear.
(b) (0,4) Obtenha a matriz que representa o operador T na base beta.
(c) (0,4) Para quais valores de c temos que T não é bijetora?

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial V sobre R, com base
beta=,1,;e^t,;t,e^t, e define o operador
T[f](t)=d^2f(t)dt^2+c,f(t),
onde cinR.
Vamos (a) mostrar que T é linear, (b) encontrar a matriz de T na base beta e (c) achar para quais c ela não é bijetora.

Passo 2

Para verificar a linearidade de T, tomemos f,gin V e alphainR. Como a derivada é linear, temos
T[f+g](t) =d^2(f+g)dt^2+c,(f+g) =d^2fdt^2+d^2gdt^2+c,f+c,g =T[f](t)+T[g](t),
e
T[alpha f](t) =d^2(alpha f)dt^2+c,(alpha f) =alpha,d^2fdt^2+alpha,c,f =alpha,T[f](t)
Logo, T é linear.

Passo 3

Vamos calcular T em cada vetor da base e expressar as imagens em coordenadas na base beta.
Para f(t)=1:
f''(t)=0, T[1](t)=0+ccdot1=c
Em coordenadas na base beta,
T[1]=ccdot1+0cdot e^t+0cdot(t e^t) longrightarrow [T(1)]beta=c00
Para f(t)=e^t:
f''(t)=e^t, T[e^t](t)=e^t+c,e^t=(1+c)e^t
Em coordenadas,
T[e^t]=0cdot1+(1+c),e^t+0cdot(t e^t) longrightarrow [T(e^t)]beta=01+c0
Para f(t)=t e^t:
f'(t)=e^t+t e^t, f''(t)=e^t+e^t+t e^t=2e^t+t e^t,
T[t e^t](t) =2e^t+t e^t+c,(t e^t) =2,e^t+(1+c),t e^t
Em coordenadas,
T[t e^t] =0cdot1+2,e^t+(1+c),t e^t longrightarrow [T(t e^t)]beta=021+c

Passo 4

A matriz de T na base beta tem como colunas os vetores [T(1)]beta, [T(e^t)]beta e [T(t e^t)]beta. Assim,
[T]beta = c & 0 & 0 0 & 1+c & 2 0 & 0 & 1+c

Passo 5

Um operador linear em espaço finito é bijetor sse sua matriz é invertível, i.e.\ seu determinante é não nulo. Como a matriz é triangular,
det[T]beta =c,(1+c),(1+c)=c,(1+c)^2
Logo det[T]beta=0 exatamente quando c=0 ou c=-1. Para esses valores de c, T não é bijetora.

Resposta

(a) T é linear por propriedades da derivada.
(b)
[T]beta = c & 0 & 0 0 & 1+c & 2 0 & 0 & 1+c
(c) T não é bijetora quando c=0 ou c=-1.

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