Questão 4 (3,0 pontos)
Resolva o problema de contorno definido pela equação
Resolva o problema de contorno definido pela equação
Passo 1
O enunciado fornece o problema de contorno para a equação da onda unidimensional
com condições de contorno de Neumann
e condições iniciais
O método que vamos usar é separação de variáveis e expansão em séries de cossenos (Solução própria para Neumann).
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo em
e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação. A parte espacial satisfaz
As soluções não-triviais surgem para
,
, com autofunções
Passo 3
Para cada
, a parte temporal satisfaz
cuja solução geral é
Passo 4
Pela superposição, a solução geral é
Passo 5
Impondo
e
temos
Da segunda igualdade vem
para todo
. Os coeficientes
são os coeficientes da série de cossenos de
: