Questão 4 (3,0 pontos)
Resolva o problema de contorno definido pela equação
& ut t=4 ux x & ux(0, t)=0, ux(pi, t)=0 & u(x, 0)=f(x) & ut(x, 0)=0)

Passo 1

O enunciado fornece o problema de contorno para a equação da onda unidimensional
ut t=4,ux x, 0<x<pi,;t>0
com condições de contorno de Neumann
ux(0,t)=0, ux(pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0
O método que vamos usar é separação de variáveis e expansão em séries de cossenos (Solução própria para Neumann).

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em utt=4,uxx e dividindo por 4,X,T obtemos
T''(t)4,T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é constante de separação. A parte espacial satisfaz
X''(x)+lambda,X(x)=0, X'(0)=X'(pi)=0
As soluções não-triviais surgem para lambdan=n^2, n=0,1,2,dots, com autofunções
X0(x)=1, Xn(x)=cos(n x);(n>=1)

Passo 3

Para cada lambdan=n^2, a parte temporal satisfaz
Tn''(t)+4,n^2,Tn(t)=0,
cuja solução geral é
Tn(t)=Ancos(2n,t)+Bnsin(2n,t)

Passo 4

Pela superposição, a solução geral é
u(x,t)=A0 + sumn=1^inftyl(Ancos(2n,t)+Bnsin(2n,t)r)cos(n x)

Passo 5

Impondo u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=0 temos
f(x)=A0 + sumn=1^inftyAncos(n x), 0=sumn=1^infty2n,Bncos(n x)
Da segunda igualdade vem Bn=0 para todo n>=1. Os coeficientes An são os coeficientes da série de cossenos de f:
A0=1piintegral0^pif(xi),dxi, An=2piintegral0^pif(xi)cos(nxi),dxi,;n>=1

Resposta

u(x,t) =1piintegral0^pif(xi),dxi ;+; sumn=1^infty!gl(2piintegral0^pif(xi)cos(nxi),dxigr)cos(n x),cos(2n t)

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