Ainda com base no princípio da conservação da VP responda:
Como este princípio pode ser usado para explicar a relação entre o transporte das correntes superiores e o vento nas bacias oceânicas demonstrada pelo modelo de Sverdrup ?
Como este princípio pode ser usado para explicar a relação entre o transporte das correntes superiores e o vento nas bacias oceânicas demonstrada pelo modelo de Sverdrup ?
Passo 1
O que o enunciado pede: usar o princípio da conservação da vorticidade potencial (VP) para explicar por que, no modelo de Sverdrup, o transporte meridional integrado das correntes superiores numa bacia oceânica fica relacionado ao rotor (curl) do estresse de vento na superfície.
Informações relevantes dadas / que vamos usar: o princípio da conservação da VP (para uma coluna de água), a existência de uma camada de Ekman na superfície forçada pelo vento (que gera uma velocidade vertical no topo/na base da coluna) e a estrutura do modelo de Sverdrup (equilíbrio em regime estacionário, grande escala, efeitos de β).
Pergunta explícita: demonstrar e explicar, passo a passo e de forma didática, como a conservação da VP leva à relação entre transporte meridional e o rotor do estresse de vento
(a famosa relação de Sverdrup).
Informações relevantes dadas / que vamos usar: o princípio da conservação da VP (para uma coluna de água), a existência de uma camada de Ekman na superfície forçada pelo vento (que gera uma velocidade vertical no topo/na base da coluna) e a estrutura do modelo de Sverdrup (equilíbrio em regime estacionário, grande escala, efeitos de β).
Pergunta explícita: demonstrar e explicar, passo a passo e de forma didática, como a conservação da VP leva à relação entre transporte meridional
Passo 2
Definição de vorticidade potencial (VP) e o que significa conservá‑la.
Definimos a VP para uma coluna de água simples (coluna barotrópica) por
Definimos a VP para uma coluna de água simples (coluna barotrópica) por
onde cada símbolo significa:
é a vorticidade planetária local (a componente vertical da vorticidade planetária; em aproximação beta
),
é a vorticidade relativa da coluna (vorticidade associada ao movimento da água),
é a profundidade (espessura) da coluna de água.
O princípio da conservação da VP diz que, para um fluido adiabático e sem torques dissipativos que alterem a vorticidade do interior, cada parcela de água conserva ao longo do seu movimento:
O princípio da conservação da VP diz que, para um fluido adiabático e sem torques dissipativos que alterem a vorticidade do interior, cada parcela de água conserva
Isso significa: se a coluna muda de profundidade
(é esticada ou comprimida verticalmente), ou se a latitude muda (mudança de
), então
deve ajustar‑se para manter
constante. Essa é a ideia física que vamos usar.
Passo 3
Como o vento entra: camada de Ekman e bombeamento (Ekman pumping).
O estresse de vento na superfície gera transporte de Ekman na camada superior. A magnitude do transporte de Ekman por unidade de comprimento é, na aproximação clássica,
O estresse de vento na superfície
onde
é a densidade da água e
é o vetor vertical. A divergência (ou rotor) desse transporte de Ekman produz uma velocidade vertical de entrada/saída da coluna no fundo da camada de Ekman; para a velocidade vertical (bombeamento)
no topo da coluna abaixo da camada de Ekman obtemos a expressão (assumindo pequena variação vertical dentro da camada):
Interpretação: se o rotor do estresse de vento
for positivo, a superfície força um afundamento (downwelling positivo) ou subida (dependendo do sinal convencional) na base da camada de Ekman — em todo caso provoca variação vertical
que estica/comprime a coluna de água.
Passo 4
Aplicando conservação da VP à coluna para ligar
com o transporte meridional.
Para uma situação grande‑escala e quase estacionária, e supondo que a vorticidade relativa é pequena em relação a
(aproximação linear), podemos escrever a conservação de
entre advecção meridional e alongamento vertical simplificando a equação material:
Para uma situação grande‑escala e quase estacionária, e supondo que a vorticidade relativa
Expandindo, e considerando apenas a parte dominante associada ao deslocamento meridional da coluna e ao efeito do bombeamento vertical
sobre
, obtemos (passo a passo):
- o termo associado ao deslocamento meridional dá
, onde é a velocidade meridional média da coluna e ; - o efeito do bombeamento vertical sobre a espessura da coluna aparece como uma taxa de variação relativa
(porque aumento de diminui ).
Portanto, a condição aproximada de equilíbrio causada pela conservação de VP torna‑se
Multiplicando por
definimos o transporte meridional por unidade de comprimento
e obtemos
Passo 5
Substituição do bombeamento de Ekman para ligar transporte e rotor do vento — obtenção da relação de Sverdrup.
Agora usamos o resultado do Passo 3 para . Substituindo em
:
Agora usamos o resultado do Passo 3 para
Simplificando o
no numerador e denominador:
Esta é a relação de Sverdrup: ela diz que o transporte meridional integrado
(por unidade zonal) no interior da bacia é diretamente proporcional ao rotor do estresse de vento sobre a superfície, com o fator
na esquerda impondo a importância da variação latitudinal da vorticidade planetária.
Passo 6
Interpretação física clara e intuitiva.
- O vento, através do estresse
, cria um transporte de Ekman que pode divergir ou convergir; essa divergência/convergência gera uma velocidade vertical (subida ou afundamento) na base da camada de Ekman. - Quando a coluna é verticalmente esticada/comprimida por
, a sua profundidade muda; para conservar a VP , e se não muda muito, a coluna precisa mudar a sua latitude (mudar ) — ou seja, é necessário um transporte meridional . - A equação
quantifica exatamente esse balanço: variação de vorticidade planetária com latitude ( ) vezes o transporte meridional deve compensar o torque vorticity introduzido pelo vento (proporcional ao rotor do estresse).
Passo 7
Observações sobre sinais, exemplos e limitações práticas.
- Sinal: em hemisfério norte
. Se então (transporte N direcionado para norte). Num exemplo clássico, entre os alísios e os ventos de oeste, o padrão do rotor do vento produz transporte equatorward no interior da bacia e o transporte de retorno poleward aparece concentrado como uma corrente ocidental forte (ex.: Corrente do Golfo) — a circulação total fecha graças a correntes de fronteira (Munk/Sverdrup). - Limitações/assunções: hipótese de regime estacionário, pequena vorticidade relativa
, coluna barotrópica simples (ou estratificada mas tratada em camadas), forças dissipativas internas negligenciadas exceto na camada de Ekman, e necessidade de correntes de limite ocidental para fechar o balanço zonal. A lei de Sverdrup é uma aproximação muito útil para o interior da bacia em grande escala.
Resposta
ou seja, pela conservação da vorticidade potencial: o bombeamento vertical causado pelo rotor do estresse de vento estica/comprime colunas de água e, para manter
constante, aparece um transporte meridional
tal que
equilibra o rotor do estresse de vento (esta é a relação de Sverdrup).