Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da sequência
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência é
. - Quer-se
.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): transformar
numa função contínua de
. Se esse limite for
, então a sequência
também tende a
quando
. Vou escrever a função como uma razão para poder aplicar um resultado que trata de formas do tipo
.)
Passo 3
Escrever a função como fração:
Observação do tipo de indeterminação: quando
tem-se
e
, então a forma é
, que permite aplicar a regra de diferenciação para limites (Regra de l’Hôpital), desde que as hipóteses sejam satisfeitas.
Passo 4
Enunciado rápido da regra (versão usada): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
e
e
existe (fínito ou infinito), então
Aqui
e
são diferenciáveis e satisfazem as hipóteses.
Passo 5
Aplicar a regra de l’Hôpital uma primeira vez:
derivadas: e
. Logo
derivadas:
Ainda temos a forma
, então podemos aplicar l’Hôpital novamente.
Passo 6
Aplicar l’Hôpital pela segunda vez:
derivadas agora: e
. Assim
derivadas agora:
Agora, quando
,
então
Passo 7
Concluir para a função:
. Como a sequência
é a amostragem dessa função nos inteiros positivos, segue que
Passo 8
Comentário didático rápido (dica para prova): o procedimento acima generaliza: para qualquer polinômio
tem-se
. Em termos práticos, exponenciais crescem muito mais rápido que potências, então produtos do tipo "polinômio vezes
" tendem a zero. Outra forma de ver isso é aplicar l’Hôpital
vezes se o polinômio tem grau
; após
derivações sobra uma constante sobre
, que vai para zero.