Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} n^{2} e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n\to+\infty da sequência a_n = n^{2} e^{-n}.
Informações dadas:
  • A sequência é a_n = n^{2} e^{-n}.
  • Quer-se \displaystyle \lim_{n\to+\infty} a_n.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): transformar a_n numa função contínua de \,x\,$ e calcular \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^{2} e^{-x}. Se esse limite for L, então a sequência a_n também tende a L quando n\to+\infty. Vou escrever a função como uma razão para poder aplicar um resultado que trata de formas do tipo \infty/\infty.)

Passo 3

Escrever a função como fração:
f(x)=x^{2} e^{-x}=\frac{x^{2}}{e^{x}},\qquad x>0.
Observação do tipo de indeterminação: quando x\to+\infty tem-se x^{2}\to+\infty e e^{x}\to+\infty, então a forma é \infty/\infty, que permite aplicar a regra de diferenciação para limites (Regra de l’Hôpital), desde que as hipóteses sejam satisfeitas.

Passo 4

Enunciado rápido da regra (versão usada): se g e h são diferenciáveis numa vizinhança de +\infty e \lim_{x\to+\infty} g(x)=\lim_{x\to+\infty} h(x)=+\infty e \lim_{x\to+\infty} \dfrac{g'(x)}{h'(x)} existe (fínito ou infinito), então
\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{g'(x)}{h'(x)}.
Aqui g(x)=x^{2} e h(x)=e^{x} são diferenciáveis e satisfazem as hipóteses.

Passo 5

Aplicar a regra de l’Hôpital uma primeira vez:
derivadas: g'(x)=2x e h'(x)=e^{x}. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^{x}}.
Ainda temos a forma \infty/\infty, então podemos aplicar l’Hôpital novamente.

Passo 6

Aplicar l’Hôpital pela segunda vez:
derivadas agora: (2x)'=2 e (e^{x})'=e^{x}. Assim
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}}.
Agora, quando x\to+\infty, e^{x}\to+\infty então
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}}=0.

Passo 7

Concluir para a função: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^{2} e^{-x}=0. Como a sequência a_n=n^{2} e^{-n} é a amostragem dessa função nos inteiros positivos, segue que
\lim_{n\to+\infty} n^{2} e^{-n}=0.

Passo 8

Comentário didático rápido (dica para prova): o procedimento acima generaliza: para qualquer polinômio p(x) tem-se \lim_{x\to\infty} p(x)e^{-x}=0. Em termos práticos, exponenciais crescem muito mais rápido que potências, então produtos do tipo "polinômio vezes e^{-x}" tendem a zero. Outra forma de ver isso é aplicar l’Hôpital k vezes se o polinômio tem grau k; após k derivações sobra uma constante sobre e^{x}, que vai para zero.

Resposta

0

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