Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
)
)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde foi dado que
e
.
Informações relevantes:
- A sequência em questão é
com inteiro positivo tendendo a . - As constantes
e são positivas. - O objetivo é encontrar o valor do limite quando
cresce sem limite.
Passo 2
Ideia principal (explicação intuitiva, antes de formalizar): o logaritmo cresce muito mais devagar que potências de
. Ou seja,
cresce muito mais rápido que
. Então a razão deve tender a zero. Vou transformar essa intuição em uma prova rigorosa usando uma comparação simples e um limite elementar.
Passo 3
Escolha de uma comparação conveniente. Tomo um número positivo
que é positivo porque
e
. Vou mostrar que existe
tal que, para todo
,
Para provar isso uso o limite contínuo
Justificativa desse limite (uso de cálculo elementar/L’Hôpital): considere a função
para
. Aplicando a regra de L’Hôpital ao limite
(numerador e denominador tendem a
e
respectivamente), obtemos
Como este limite é
, existe
tal que para todo
vale
, isto é,
Aplicando isso a inteiros
obtemos a desigualdade desejada.
Passo 4
Elevar a desigualdade à potência
. Para
temos
Mas por definição de
temos
Logo, para
,
Passo 5
Comparação direta com a potência do denominador. Para
,
Como
, sabemos que
Pelo teorema do confronto (princípio da compressão), segue que
Passo 6
Intuição alternativa (útil para a prova na prova — não necessária, mas ajuda a entender): escrever a razão como uma exponencial.
Como
(novamente por um limite do tipo
com
), o termo entre colchetes tende a
e o expoente tende a
. Assim a exponencial tende a
. Isso confirma a conclusão anterior sob outra ótica.
Passo 7
Prova
-
rápida (formalização final): dado
, escolha
tal que
(por exemplo
). Para
temos
o que mostra que a sequência converge para
.
Resposta
0