Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}}\\, em que \(a>0 e b>0)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{n\to+\infty}\frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}}
onde foi dado que a>0 e b>0.
Informações relevantes:
  • A sequência em questão é \displaystyle \frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}} com n inteiro positivo tendendo a +\infty.
  • As constantes a e b são positivas.
  • O objetivo é encontrar o valor do limite quando n cresce sem limite.

Passo 2

Ideia principal (explicação intuitiva, antes de formalizar): o logaritmo cresce muito mais devagar que potências de n. Ou seja, n^{b} cresce muito mais rápido que (\ln n)^{a}. Então a razão deve tender a zero. Vou transformar essa intuição em uma prova rigorosa usando uma comparação simples e um limite elementar.

Passo 3

Escolha de uma comparação conveniente. Tomo um número positivo
c=\frac{b}{2a},
que é positivo porque a>0 e b>0. Vou mostrar que existe N tal que, para todo n\ge N,
\ln n \le n^{c}.
Para provar isso uso o limite contínuo
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{c}} = 0.
Justificativa desse limite (uso de cálculo elementar/L’Hôpital): considere a função x\mapsto \dfrac{\ln x}{x^{c}} para x>0. Aplicando a regra de L’Hôpital ao limite x\to+\infty (numerador e denominador tendem a +\infty e +\infty respectivamente), obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{c}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{( \ln x )'}{( x^{c} )'} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{c x^{c-1}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{c x^{c}} = 0.
Como este limite é 0, existe N tal que para todo x\ge N vale \dfrac{\ln x}{x^{c}} \le 1, isto é,
\ln x \le x^{c}\quad\text{para todo }x\ge N.
Aplicando isso a inteiros n\ge N obtemos a desigualdade desejada.

Passo 4

Elevar a desigualdade à potência a>0. Para n\ge N temos
(\ln n)^{a} \le \bigl(n^{c}\bigr)^{a} = n^{ac}.
Mas por definição de c temos
ac = a\cdot\frac{b}{2a} = \frac{b}{2}.
Logo, para n\ge N,
(\ln n)^{a} \le n^{b/2}.

Passo 5

Comparação direta com a potência do denominador. Para n\ge N,
0 \le \frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}} \le \frac{n^{b/2}}{n^{b}} = n^{-b/2}.
Como b/2>0, sabemos que
\lim_{n\to+\infty} n^{-b/2} = 0.
Pelo teorema do confronto (princípio da compressão), segue que
\lim_{n\to+\infty}\frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}} = 0.

Passo 6

Intuição alternativa (útil para a prova na prova — não necessária, mas ajuda a entender): escrever a razão como uma exponencial.
\frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}} = \exp\bigl(a\ln(\ln n) - b\ln n\bigr) = \exp\Bigl(-b\ln n\Bigl[1 - \frac{a}{b}\,\frac{\ln(\ln n)}{\ln n}\Bigr]\Bigr).
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(\ln n)}{\ln n}=0 (novamente por um limite do tipo \lim_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t}=0 com t=\ln n), o termo entre colchetes tende a 1 e o expoente tende a -\infty. Assim a exponencial tende a 0. Isso confirma a conclusão anterior sob outra ótica.

Passo 7

Prova \varepsilon- N rápida (formalização final): dado \varepsilon>0, escolha M tal que M^{-b/2}<\varepsilon (por exemplo M>\varepsilon^{-2/b}). Para n\ge\max\{N,M\} temos
0\le \frac{(\ln n)^{a}}{n^{b}} \le n^{-b/2}\le M^{-b/2}<\varepsilon,
o que mostra que a sequência converge para 0.

Resposta

0

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