Ainda no que diz respeito à equação de difusão unidimensional, determine se a forma discretizada
phij^n-1-4 phij^n+3 phij^n+12 De<a t-alpha(phij-1^n-2 phij^n+phij+1^nDe<a x^2)=0
e consistente, ou não, com a equação de difusão.
Exercício 5

Passo 1

O enunciado dá a equação de difusão unidimensional
partial phipartial t = alpha ,partial^2 phipartial x^2
e propõe a forma discretizada
phij^n-1-4 phij^n+3 phij^n+12 ,De<a t -alpha, phij-1^n-2 phij^n+phij+1^nDe<a x^2 =0
Queremos checar se essa fórmula é consistente, isto é, se o erro de truncamento local tende a zero quando De<a t,De<a xto0. Para isso, vamos usar expansões de Taylor em torno de (xj,tn).

Passo 2

Expandimos em Taylor em tempo em torno de tn:
phij^n+1 =phi+De<a t,phit+tfracDe<a t^22,phitt+tfracDe<a t^36,phittt+O(De<a t^4),
phij^n-1 =phi-De<a t,phit+tfracDe<a t^22,phitt-tfracDe<a t^36,phittt+O(De<a t^4),
onde phi,phit,phitt,dots são avaliados em (xj,tn). Substituindo em
phij^n-1-4phij^n+3phij^n+1 e coletando termos, obtemos
phij^n-1-4phij^n+3phij^n+1 =2De<a t,phit+2De<a t^2,phitt+tfracDe<a t^33,phittt+O(De<a t^4)
Dividindo por 2De<a t resulta na aproximação em tempo
phij^n-1-4phij^n+3phij^n+12De<a t =phit+De<a t,phitt+tfracDe<a t^26,phittt+O(De<a t^3)

Passo 3

Para o termo espacial usamos a diferença central de segunda ordem:
phij-1^n-2phij^n+phij+1^nDe<a x^2 =phixx+tfracDe<a x^212,phixxxx+O(De<a x^4),
avaliado em (xj,tn).

Passo 4

Substituindo ambas aproximações na fórmula discretizada, o resíduo (erro de truncamento) é
l(phit+De<a t,phitt+tfracDe<a t^26,phitttr) -alphal(phixx+tfracDe<a x^212,phixxxxr) +O(De<a t^3,De<a x^4)
Como a PDE satisfaz phit-alphaphixx=0, sobra
De<a t,phitt-alpha,tfracDe<a x^212,phixxxx+O(De<a t^2,De<a x^4)
Usando ainda phitt=alphaphitxx=alpha^2phixxxx, vemos que o erro é da ordem
O(De<a t)+O(De<a x^2),
que tende a zero quando De<a t,De<a xto0.

Resposta

A forma discretizada é consistente com a equação de difusão, apresentando erro de truncamento O(De<a t)+O(De<a x^2).

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