Ainda no que diz respeito à equação de difusão unidimensional, determine se a forma discretizada
e consistente, ou não, com a equação de difusão.
Exercício 5
Passo 1
O enunciado dá a equação de difusão unidimensional
e propõe a forma discretizada
Queremos checar se essa fórmula é consistente, isto é, se o erro de truncamento local tende a zero quando
. Para isso, vamos usar expansões de Taylor em torno de
.
Passo 2
Expandimos em Taylor em tempo em torno de
:
onde
são avaliados em
. Substituindo em
e coletando termos, obtemos
Dividindo por
resulta na aproximação em tempo
Passo 3
Para o termo espacial usamos a diferença central de segunda ordem:
avaliado em
.
Passo 4
Substituindo ambas aproximações na fórmula discretizada, o resíduo (erro de truncamento) é
Como a PDE satisfaz
, sobra
Usando ainda
, vemos que o erro é da ordem
que tende a zero quando
.
Resposta
A forma discretizada é consistente com a equação de difusão, apresentando erro de truncamento
.