Considere a equação de difusão unidimensional
partial varphipartial t-alpha partial^2 varphipartial x^2=0
cuja forma discretizada é dada por
phij^n+1-phij^nDe<a t-alpha(-phij-2^n+16 phij-1^n-30 phij^n+16 phij+1^n-phij+2^n12 De<a x^2)=0
e verifique se esquema numérico é consistente.
Exercício 4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de difusão unidimensional
partial varphipartial t ;-;alpha,partial^2varphipartial x^2 ;=;0
e um esquema de diferenças finitas explícito que usa avanço em tempo de primeira ordem e derivada segunda em espaço de quarta ordem:
phij^n+1-phij^nDe<a t ;-;alpha, -phij-2^n + 16,phij-1^n - 30,phij^n + 16,phij+1^n - phij+2^n 12,De<a x^2 ;=;0
Precisamos mostrar que, ao substituir a solução suave varphi(x,t) via séries de Taylor, o erro de truncamento tende a zero quando De<a t,De<a xto0. Isso garante consistência.

Passo 2

Expandimos em Taylor no tempo a ponto (xj,t^n+1):
phij^n+1 =varphi(xj,t^n+De<a t) =varphi +De<a t,partialvarphipartial t +De<a t^22,partial^2varphipartial t^2 +O(De<a t^3)
Logo
phij^n+1-phij^nDe<a t =varphi + De<a t,varphit + tfracDe<a t^22varphitt - varphiDe<a t =varphit + De<a t2,varphitt + O(De<a t^2)

Passo 3

Agora a aproximação de quarta ordem para varphixx: expandimos varphijpm1 e varphijpm2 em Taylor em x. O resultado padrão é
-varphij-2+16,varphij-1-30,varphij+16,varphij+1-varphij+212,De<a x^2 =varphixx + De<a x^46,varphixxxxxx + O(De<a x^6)

Passo 4

Substituindo essas expansões no esquema numérico:
l(varphit + tfracDe<a t2varphitt + O(De<a t^2)r) -alphal(varphixx + tfracDe<a x^46varphixxxxxx + O(De<a x^6)r) =0
Reagrupando, reconhecemos a PDE original varphit -alphavarphixx=0 mais um termo de erro de truncamento
tau = De<a t2,varphitt ;-;alpha,De<a x^46,varphixxxxxx ;+;O(De<a t^2,De<a x^6)

Passo 5

Como tauto0 quando De<a tto0 e De<a xto0, o esquema satisfaz a definição de consistência: o operador discreto converge ao operador contínuo da equação de difusão.

Resposta

O esquema é consistente, com erro de truncamento O(De<a t,De<a x^4).

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