Considere a equação de difusão unidimensional
cuja forma discretizada é dada por
e verifique se esquema numérico é consistente.
Exercício 4
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de difusão unidimensional
e um esquema de diferenças finitas explícito que usa avanço em tempo de primeira ordem e derivada segunda em espaço de quarta ordem:
Precisamos mostrar que, ao substituir a solução suave
via séries de Taylor, o erro de truncamento tende a zero quando
. Isso garante consistência.
Passo 2
Expandimos em Taylor no tempo a ponto
:
Logo
Passo 3
Agora a aproximação de quarta ordem para
: expandimos
e
em Taylor em
. O resultado padrão é
Passo 4
Substituindo essas expansões no esquema numérico:
Reagrupando, reconhecemos a PDE original
mais um termo de erro de truncamento
Passo 5
Como
quando
e
, o esquema satisfaz a definição de consistência: o operador discreto converge ao operador contínuo da equação de difusão.
Resposta
O esquema é consistente, com erro de truncamento
.