Dado que p, p+10 e p+14 são números primos, determine o primo p.

Passo 1

O enunciado pede um número primo p tal que p, p+10 e p+14 sejam todos primos. O conteúdo que vamos usar é aritmética modular, em particular a divisibilidade por 3.

Passo 2

Suponha p>3. Então p deixa resto 1 ou 2 ao ser dividido por 3.
  • Se pequiv1pmod3, então p+14equiv1+14equiv15equiv0pmod3, de modo que p+14 seria múltiplo de 3 e, sendo maior que 3, não poderia ser primo.
  • Se pequiv2pmod3, então p+10equiv2+10equiv12equiv0pmod3, e assim p+10 seria múltiplo de 3 e maior que 3, logo não primo.
    Portanto, para que os três números sejam primos, não pode valer p>3.

Passo 3

Logo, a única possibilidade é p=3. Verificando:
3, 3+10=13, 3+14=17
são todos primos.

Resposta

p=3

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