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O ponto A=(13,8,-4) pertence ao plano \pi de equaçāo \pi:\left\{\begin{array}{rl}x & =-1+4 t-3 s \\ \langle b r /\rangle & =2+2 t-s \\ z & =-3+t+2 s\end{array} t, s \in \mathbb{R}\right.
Determine se o ponto A=(13,8,-4) pertence ao plano \pi de equaçāo \pi:\left\{\begin{array}{rl}x & =-1+4 t-3 s \\ \langle b r /\rangle & =2+2 t-s \\ z & =-3+t+2 s\end{array} t, s \in \mathbb{R}\right.
Escolha uma opção:
◯ Falso
◯ Verdadeiro
Determine a equação geral do plano que contém a reta r: X=(-1,4,13)+\lambda(-2,1,-4) e o ponto P=(-1,-2,3)
Escolha uma opção:
◯ a. -17 x+10 y-6 z+21=0
◯ b. -17 x-10 y+6 z-55=0
◯ c. 7 x+10 y-6 z+45=0
◯ d. 7 x-10 y+6 z-31=0

Passo 1

Primeira pergunta: o enunciado pede para determinar se o ponto A=(13,8,-4)\) pertence ao plano \(\pi\) dado pela forma paramétrica \[\pi:\begin{cases} x = -1 + 4t - 3s\\[4pt] y = 2 + 2t - s\\[4pt] z = -3 + t + 2s \end{cases}\quad t,s\in\mathbb{R}.
Dados relevantes: as coordenadas de A\] e as expressões de \(x,y,z em função de t,s.
Segunda pergunta: determinar a equação geral do plano que contém a reta r e o ponto P, onde
r: X = (-1,4,13) + \lambda(-2,1,-4),\quad \lambda\in\mathbb{R},
e
P = (-1,-2,3).
Dados relevantes: um ponto e o vetor diretor da reta r, e o ponto P que também deve pertencer ao plano procurado.]

Passo 2

Testando se A\) pertence a \(\pi\). Ideia: existir \(t,s\) tais que as coordenadas paramétricas coincidam com as de \(A\). Então montamos o sistema \[\begin{cases} -1 + 4t - 3s = 13\\[4pt] 2 + 2t - s = 8\\[4pt] -3 + t + 2s = -4 \end{cases}
Agora simplificamos cada equação isolando termos:
\begin{cases} 4t - 3s = 14\\[4pt] 2t - s = 6\\[4pt] t + 2s = -1 \end{cases}
Da segunda equação isolamos s\]: \[s = 2t - 6.\] Substituímos esse \(s na primeira equação:
4t - 3(2t - 6) = 14.
Desenvolvendo:
4t - 6t + 18 = 14 \quad\Rightarrow\quad -2t = -4 \quad\Rightarrow\quad t = 2.
Com t=2 achamos s:
s = 2\cdot 2 - 6 = 4 - 6 = -2.
Agora verificamos a terceira equação (checar sempre todas):
t + 2s = 2 + 2(-2) = 2 - 4 = -2.
Mas a terceira equação pedia t + 2s = -1. Obtivemos -2\neq -1. Isso é uma contradição: não existem t,s que satisfaçam as três equações simultaneamente. Conclusão: o ponto A não pertence ao plano \pi.
Comentário didático rápido: geometricamente, a forma paramétrica dá todos os pontos do plano ao variar t,s. Testamos se dá para gerar as coordenadas de A — não deu — logo A não está no plano.]

Passo 3

Encontrando a equação do plano que contém a reta r e o ponto P.
  1. Obtenha um ponto da reta r e seu vetor diretor. Tomando \lambda=0 na reta, um ponto de r é
Q = (-1,4,13).
O vetor diretor da reta é
\vec{v} = (-2,1,-4).
  1. Forme um vetor que liga Q a P; esse vetor está no plano:
\overrightarrow{QP} = P - Q = (-1 - (-1),\\\ -2 - 4,\\\ 3 - 13) = (0,-6,-10).
Chamemos \vec{w}=(0,-6,-10).
  1. O plano é gerado por \vec{v} e \vec{w}; então um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial \vec{n} = \vec{v}\times\vec{w}. Lembre-se: para
    \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3),
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}.
Aqui
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -2 & 1 & -4\\[4pt] 0 & -6 & -10 \end{vmatrix}.
Calcule componente a componente (detalhando os menores):
\begin{aligned} \text{componente }x &: \; 1\cdot(-10) - (-4)\cdot(-6) = -10 - 24 = -34,\\[4pt] \text{componente }y &: \; -\big((-2)\cdot(-10) - (-4)\cdot 0\big) = -(20 - 0) = -20,\\[4pt] \text{componente }z &: \; -2\cdot(-6) - 1\cdot 0 = 12 - 0 = 12. \end{aligned}
Logo
\vec{n} = (-34,-20,12).
Podemos simplificar dividindo por 2:
\vec{n} = (-17,-10,6).
  1. Equação cartesiana do plano: use a forma \vec{n}\cdot (X - X_0)=0, onde X=(x,y,z) e X_0 é um ponto do plano (usei Q ou P). Com X_0=Q=(-1,4,13),
(-17,-10,6)\cdot(x+1,\\ y-4,\\ z-13)=0.
Expandindo:
-17(x+1)-10(y-4)+6(z-13)=0.
Desenvolvendo os parênteses:
-17x-17-10y+40+6z-78=0.
Somando constantes:
-17x-10y+6z-55=0.
  1. Verificação rápida (checagem): plugando P=(-1,-2,3),
-17(-1)-10(-2)+6\cdot 3 -55 = 17+20+18-55 = 0,
ok — P satisfaz a equação. Também um ponto de r, Q=(-1,4,13), satisfaz (pode checar se quiser).
Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide é a alternativa \text{(b)}.]

Resposta

Falso
b. -17 x-10 y+6 z-55=0

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