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O ponto A=(13,8,-4) pertence ao plano \pi de equaçāo \pi:\left\{\begin{array}{rl}x & =-1+4 t-3 s \\ \langle b r /\rangle & =2+2 t-s \\ z & =-3+t+2 s\end{array} t, s \in \mathbb{R}\right.
Determine se o ponto A=(13,8,-4) pertence ao plano \pi de equaçāo \pi:\left\{\begin{array}{rl}x & =-1+4 t-3 s \\ \langle b r /\rangle & =2+2 t-s \\ z & =-3+t+2 s\end{array} t, s \in \mathbb{R}\right.
Escolha uma opção:
◯ Falso
◯ Verdadeiro
Determine a equação geral do plano que contém a reta r: X=(-1,4,13)+\lambda(-2,1,-4) e o ponto P=(-1,-2,3)
Escolha uma opção:
◯ a. -17 x+10 y-6 z+21=0
◯ b. -17 x-10 y+6 z-55=0
◯ c. 7 x+10 y-6 z+45=0
◯ d. 7 x-10 y+6 z-31=0
Passo 1
Primeira pergunta: o enunciado pede para determinar se o ponto A=(13,8,-4)\) pertence ao plano \(\pi\) dado pela forma paramétrica
\[\pi:\begin{cases} x = -1 + 4t - 3s\\[4pt] y = 2 + 2t - s\\[4pt] z = -3 + t + 2s \end{cases}\quad t,s\in\mathbb{R}.
Dados relevantes: as coordenadas de A\] e as expressões de \(x,y,z em função de t,s.
Segunda pergunta: determinar a equação geral do plano que contém a reta r e o ponto P, onde
r: X = (-1,4,13) + \lambda(-2,1,-4),\quad \lambda\in\mathbb{R},
e
P = (-1,-2,3).
Dados relevantes: um ponto e o vetor diretor da reta r, e o ponto P que também deve pertencer ao plano procurado.]
Passo 2
Testando se A\) pertence a \(\pi\). Ideia: existir \(t,s\) tais que as coordenadas paramétricas coincidam com as de \(A\). Então montamos o sistema
\[\begin{cases} -1 + 4t - 3s = 13\\[4pt] 2 + 2t - s = 8\\[4pt] -3 + t + 2s = -4 \end{cases}
Agora simplificamos cada equação isolando termos:
\begin{cases} 4t - 3s = 14\\[4pt] 2t - s = 6\\[4pt] t + 2s = -1 \end{cases}
Da segunda equação isolamos s\]:
\[s = 2t - 6.\]
Substituímos esse \(s na primeira equação:
Agora verificamos a terceira equação (checar sempre todas):
t + 2s = 2 + 2(-2) = 2 - 4 = -2.
Mas a terceira equação pedia t + 2s = -1. Obtivemos -2\neq -1. Isso é uma contradição: não existem t,s que satisfaçam as três equações simultaneamente. Conclusão: o ponto A não pertence ao plano \pi.
Comentário didático rápido: geometricamente, a forma paramétrica dá todos os pontos do plano ao variar t,s. Testamos se dá para gerar as coordenadas de A — não deu — logo A não está no plano.]
Passo 3
Encontrando a equação do plano que contém a reta r e o ponto P.
Obtenha um ponto da reta r e seu vetor diretor. Tomando \lambda=0 na reta, um ponto de r é
Q = (-1,4,13).
O vetor diretor da reta é
\vec{v} = (-2,1,-4).
Forme um vetor que liga Q a P; esse vetor está no plano:
O plano é gerado por \vec{v} e \vec{w}; então um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial \vec{n} = \vec{v}\times\vec{w}. Lembre-se: para \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3),