Suponha que os eixos x^{\prime} e y^{\prime} foram obtidos através de rotação horária de \frac{\pi}{3} dos eixos x e y. Encontre as coordenadas (x, y) do ponto A que possui coordenadas \left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=(1,2).

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o seguinte.
  • Informação: os eixos x' e y' foram obtidos a partir dos eixos x e y por uma rotação horária de \frac{\pi}{3}.
  • Informação: o ponto A tem coordenadas no sistema rotacionado iguais a \left(x',y'\right)=(1,2).
  • Pergunta: encontrar as coordenadas (x,y) do mesmo ponto A no sistema original de eixos x,y.

Passo 2

Vamos entender a relação entre coordenadas quando trocamos de eixo. Pense no vetor posição do ponto A escrito de duas formas:
\vec{r}=x\,\mathbf{e}_x+y\,\mathbf{e}_y = x'\,\mathbf{e}_{x'}+y'\,\mathbf{e}_{y'},
onde \mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y são os versores (vetores unitários) dos eixos originais e \mathbf{e}_{x'},\mathbf{e}_{y'} são os versores dos eixos rotacionados. Se os eixos foram rotacionados no sentido anti-horário por um ângulo \varphi, então a base rotacionada relaciona-se com a base original por
\mathbf{e}_{x'}=\cos\varphi\,\mathbf{e}_x+\sin\varphi\,\mathbf{e}_y,
\mathbf{e}_{y'}=-\sin\varphi\,\mathbf{e}_x+\cos\varphi\,\mathbf{e}_y.
Substituindo essas expressões em \vec{r}=x'\,\mathbf{e}_{x'}+y'\,\mathbf{e}_{y'} e igualando as componentes na base \{\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y\} obtemos as fórmulas de transformação das coordenadas:
x = x'\cos\varphi - y'\sin\varphi,
y = x'\sin\varphi + y'\cos\varphi.
Importante: essas fórmulas valem quando o ângulo \varphi é o ângulo da rotação dos eixos no sentido anti-horário. Se os eixos foram rotacionados no sentido horário, pega-se \varphi negativo (ou seja, \varphi=-ângulo horário).

Passo 3

No nosso caso os eixos foram rotacionados no sentido horário por \frac{\pi}{3}. Logo, na fórmula acima usamos
\varphi=-\frac{\pi}{3}.
Calculemos os cosseno e seno correspondentes:
\cos\varphi=\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},
\sin\varphi=\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas de transformação com x'=1 e y'=2:
x = x'\cos\varphi - y'\sin\varphi = 1\cdot\tfrac{1}{2} - 2\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Calcule passo a passo:
1\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
-2\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=+2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Somando,
x=\tfrac{1}{2}+\sqrt{3}=\frac{1+2\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Agora a componente y:
y = x'\sin\varphi + y'\cos\varphi = 1\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\cdot\tfrac{1}{2}.
Calcule passo a passo:
1\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},
2\cdot\tfrac{1}{2}=1.
Somando,
y=1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{1+2\sqrt{3}}{2},\;\frac{2-\sqrt{3}}{2}\right)

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