Suponha que os eixos
e
foram obtidos através de rotação horária de
dos eixos
e
. Encontre as coordenadas
do ponto
que possui coordenadas
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o seguinte.
- Informação: os eixos
e foram obtidos a partir dos eixos e por uma rotação horária de . - Informação: o ponto
tem coordenadas no sistema rotacionado iguais a . - Pergunta: encontrar as coordenadas
do mesmo ponto no sistema original de eixos .
Passo 2
Vamos entender a relação entre coordenadas quando trocamos de eixo. Pense no vetor posição do ponto
escrito de duas formas:
onde
são os versores (vetores unitários) dos eixos originais e
são os versores dos eixos rotacionados. Se os eixos foram rotacionados no sentido anti-horário por um ângulo
, então a base rotacionada relaciona-se com a base original por
Substituindo essas expressões em
e igualando as componentes na base
obtemos as fórmulas de transformação das coordenadas:
Importante: essas fórmulas valem quando o ângulo
é o ângulo da rotação dos eixos no sentido anti-horário. Se os eixos foram rotacionados no sentido horário, pega-se
negativo (ou seja,
ângulo horário).
Passo 3
No nosso caso os eixos foram rotacionados no sentido horário por
. Logo, na fórmula acima usamos
Calculemos os cosseno e seno correspondentes:
Passo 4
Agora aplicamos as fórmulas de transformação com
e
:
Calcule passo a passo:
Somando,
Passo 5
Agora a componente
:
Calcule passo a passo:
Somando,