Seja a reta r: \frac{x-5}{2}=\frac{y-7}{3}=\frac{-z-1}{4}. Temos que o vetor diretor \vec{r} e o ponto P utilizados para obter essa equação foram:
Escolha uma opção:
◯ a. \vec{r}=(2,-3,4) e o ponto P=(5,-7,-1)
◯ b. \vec{r}=(-2,3,4) e o ponto P=(-5,7,-1)
◯ c. \vec{r}=(2,-3,4) e o ponto P=(5,7,-1)
◯ d. \vec{r}=(-2,3,4) e o ponto P=(5,7,-1)
◯ e. \vec{r}=(2,3,-4) e o ponto P=(5,7,-1)

Passo 1

O enunciado dá a reta
\frac{x-5}{2}=\frac{y-7}{3}=\frac{-z-1}{4}
e pede: qual foi o vetor diretor \vec{r} e qual foi o ponto P usados para escrever essa equação da reta. As alternativas fornecidas (copiadas do enunciado) são:
a. \vec{r}=(2,-3,4) e o ponto P=(5,-7,-1)
b. \vec{r}=(-2,3,4) e o ponto P=(-5,7,-1)
c. \vec{r}=(2,-3,4) e o ponto P=(5,7,-1)
d. \vec{r}=(-2,3,4) e o ponto P=(5,7,-1)
e. \vec{r}=(2,3,-4) e o ponto P=(5,7,-1)
Essas são todas as informações relevantes que o enunciado fornece. Não vou ainda resolver nada, apenas organizei o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Agora uma ideia-chave (explicada passo a passo): quando uma reta está escrita na forma simétrica
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
isso significa que existe um parâmetro t tal que
x = x_0 + a t,\qquad y = y_0 + b t,\qquad z = z_0 + c t.
Ou seja: o ponto base da reta é P=(x_0,y_0,z_0) (é o ponto obtido quando t=0) e o vetor diretor é \vec{r}=(a,b,c) (são os coeficientes que multiplicam t). Essa é a regra que vamos usar; em prova, lembrar disso é mágico — basta identificar x_0,y_0,z_0 e a,b,c.

Passo 3

Aplique a regra ao nosso caso. Primeiro igualamos a expressão comum a um parâmetro t:
\frac{x-5}{2}=\frac{y-7}{3}=\frac{-z-1}{4}=t.
Agora resolvemos cada equação para x, y e z em função de t.
Da primeira:
\frac{x-5}{2}=t \quad\Rightarrow\quad x-5=2t \quad\Rightarrow\quad x=5+2t.
Da segunda:
\frac{y-7}{3}=t \quad\Rightarrow\quad y-7=3t \quad\Rightarrow\quad y=7+3t.
Da terceira (atenção ao sinal): temos
\frac{-z-1}{4}=t \quad\Rightarrow\quad -z-1=4t \quad\Rightarrow\quad -z=4t+1 \quad\Rightarrow\quad z=-4t-1.
Repare que escrevemos passo a passo: isolamos o numerador, multiplicamos por 4, isolamos -z e por fim multiplicamos por -1 para obter z.

Passo 4

Agora lemos a parametrização completa que obtivemos:
x=5+2t,\qquad y=7+3t,\qquad z=-1-4t.
Para encontrar o ponto base P usado na forma simétrica, tomamos t=0. Substituindo t=0:
x(0)=5,\qquad y(0)=7,\qquad z(0)=-1.
Logo o ponto é P=(5,7,-1).

Passo 5

O vetor diretor vem dos coeficientes de t nas expressões de x,y,z. Nos usamos:
x=5+2t,\; y=7+3t,\; z=-1-4t,
portanto os coeficientes de t são 2, 3 e -4. Assim o vetor diretor é
\vec{r}=(2,3,-4).
Um jeito rápido de lembrar é: a forma simétrica \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} \vec{r}=(a,b,c). No nosso caso, cuidado com o numerador do terceiro quociente: era -z-1, o que gerou um coeficiente -4 para t.

Passo 6

Agora comparamos o que encontramos com as alternativas dadas. Nós obtivemos:
\vec{r}=(2,3,-4)\quad\text{e}\quad P=(5,7,-1).
Entre as alternativas listadas no Passo 1, só aquela que apresenta exatamente esse vetor e esse ponto coincide com os nossos resultados. Em prova, esse é o critério: verificar qual alternativa tem o ponto P e o vetor diretor iguais aos que você calculou.

Resposta

(e) \vec{r}=(2,3,-4) e o ponto P=(5,7,-1)

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