Ainda em relação ao conceito de solução de uma equação diferencial ordinárias, faça o que se pede nos itens a seguir:
a) O que é uma família de soluções a n-parâmetros?
b) Qual a forma geral de uma solução a n-parâmetros?
c) O que é uma solução particular de uma equação diferencial?

Passo 1

O enunciado pede para entendermos conceitos básicos sobre soluções de equações diferenciais ordinárias (EDO), em particular famílias de soluções com n parâmetros e soluções particulares. Para isso, vamos revisar a definição de solução geral, solução com parâmetros e solução particular.

Passo 2

Uma família de soluções a n-parâmetros é um conjunto de funções que satisfazem a EDO e dependem de n constantes livres. Cada escolha dessas constantes gera uma solução diferente, de modo que esse conjunto ‘varia’ em n graus de liberdade.

Passo 3

A forma geral de uma solução a n-parâmetros costuma ser escrita como y = φ(x; C₁, C₂, …, Cₙ), onde φ é uma função envolvida na EDO e C₁, C₂, …, Cₙ são as constantes arbitrárias que identificam cada membro da família.

Passo 4

Uma solução particular de uma EDO é uma função específica obtida quando atribuímos valores concretos às constantes da solução geral (ou n-parâmetros). Ela satisfaz a EDO e quaisquer condições iniciais ou de contorno presentes no problema.

Resposta

a) É o conjunto de todas as soluções de uma EDO que dependem de n constantes arbitrárias, de modo que cada conjunto de valores dessas constantes gera uma solução distinta.
b) A forma geral é y = φ(x; C₁, C₂, …, Cₙ), onde φ satisfaz a EDO e C₁,…,Cₙ são as n constantes livres.
c) É uma solução específica obtida ao atribuir valores definidos às constantes da solução geral, de forma a satisfazer também condições iniciais ou de contorno.

Exercícios relacionados