Se a solução da equação homogênea associada
for
, determine a forma de uma solução particular de
para
dada.
Passo 1
O enunciado pede pra achar a forma de uma solução particular para a EDO não-homogênea L(y)=φ(x) com φ(x)=4e^{2x}, sabendo que a solução homogênea é y_h=c₁e{x}+c₂e{2x}. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Pelo método dos coeficientes indeterminados, a gente escolhe uma “chute” y_p parecido com φ(x). Como φ(x)=4e^{2x}, normalmente testaríamos y_p=Ae^{2x}.
Mas aí entra um ajuste: φ(x) coincide com um dos termos da solução homogênea (e^{2x}), o que gera dependência linear. A teoria manda multiplicar por x^s, onde s é a multiplicidade da raiz r=2 no polinômio característico.
Mas aí entra um ajuste: φ(x) coincide com um dos termos da solução homogênea (e^{2x}), o que gera dependência linear. A teoria manda multiplicar por x^s, onde s é a multiplicidade da raiz r=2 no polinômio característico.
Passo 3
A raiz r=2 é simples (multiplicidade 1), então tomamos s=1. Assim a forma de y_p deve ser y_p=A x e^{2x}.
Passo 4
Com essa forma, basta substituir em L(y)=φ(x) e determinar o coeficiente A, mas como só nos pediram a forma, paramos aqui.