Se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^x+c2e^2x, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada.
phi(x) = 4e^2x

Passo 1

O enunciado pede pra achar a forma de uma solução particular para a EDO não-homogênea L(y)=φ(x) com φ(x)=4e^{2x}, sabendo que a solução homogênea é y_h=c₁e{x}+c₂e{2x}. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Pelo método dos coeficientes indeterminados, a gente escolhe uma “chute” y_p parecido com φ(x). Como φ(x)=4e^{2x}, normalmente testaríamos y_p=Ae^{2x}.
Mas aí entra um ajuste: φ(x) coincide com um dos termos da solução homogênea (e^{2x}), o que gera dependência linear. A teoria manda multiplicar por x^s, onde s é a multiplicidade da raiz r=2 no polinômio característico.

Passo 3

A raiz r=2 é simples (multiplicidade 1), então tomamos s=1. Assim a forma de y_p deve ser y_p=A x e^{2x}.

Passo 4

Com essa forma, basta substituir em L(y)=φ(x) e determinar o coeficiente A, mas como só nos pediram a forma, paramos aqui.

Resposta

yp = A x e^2x

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