Ainda sobre a lei de resfriamento de Newton, ela diz que um objeto muda a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente que o rodeia. Suponha hipoteticamente, um objeto que segue a lei de Newton e foi colocado no fogo e alcançou uma temperatura de 200 graus. Em seguida, ele foi lançado num rio e, após um minuto, alcançou a temperatura de 190 graus. Considerando que a temperatura do rio era de 70 graus, determine o tempo em que a temperatura alcançou 180 graus.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que basicamente diz que a taxa com que a temperatura de um objeto muda é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente ao redor. Aqui, temos um objeto que inicialmente está no fogo a 200°C e depois é jogado num rio que está a 70°C. Após 1 minuto no rio, a temperatura do objeto cai para 190°C. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para a temperatura do objeto chegar a 180°C. Para resolver isso, vamos usar a equação da Lei de Resfriamento de Newton e fazer umas contas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da Lei de Resfriamento de Newton. A equação diferencial que descreve isso é:
dTdt = -k(T - Tamb)
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo
  • é a temperatura do ambiente (no caso, 70°C)
  • é a constante de proporcionalidade que a gente precisa encontrar

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
dTT - Tamb = -k , dt
Integrando os dois lados:
ln|T - Tamb| = -kt + C
Onde T - Tamb = Ce^-kt é a constante de integração. Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
T(t) = Tamb + Ce^-kt
Então, isolando :

Passo 4

Vamos usar a condição inicial para encontrar 200 = 70 + C e^-k cdot 0 200 = 70 + C cdot 1 C = 200 - 70 C = 130 . No tempo T(t) = 70 + 130 e^-kt minutos, a temperatura °C. Substituindo na equação:
Então, nossa equação fica:

Passo 5

Agora, vamos usar a informação de que após 1 minuto, a temperatura caiu para 190°C para encontrar 190 = 70 + 130 e^-k cdot 1 190 - 70 = 130 e^-k 120 = 130 e^-k 120130 = e^-k ln(120130) = -k k = -ln(120130) . Substituindo k approx -ln(1213) approx -ln(0,9231) approx 0,0800 min^-1 e na equação:
Calculando :

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar o tempo 180 = 70 + 130 e^-0,0800 t quando a temperatura chega a 180°C. Usamos a equação:
180 - 70 = 130 e^-0,0800 t 110 = 130 e^-0,0800 t 110130 = e^-0,0800 t ln(110130) = -0,0800 t t = -ln(110130)0,0800
Resolvendo para t approx -ln(1113)0,0800 approx - ln(0,8462) 0,0800 approx - -0,1671 0,0800 approx 2,089 minutos :
Calculando :

Resposta

O tempo necessário para que a temperatura do objeto alcance 180°C é aproximadamente 2,09 minutos.

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