Ainda sobre a lei de resfriamento de Newton, ela diz que um objeto muda a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente que o rodeia. Suponha hipoteticamente, um objeto que segue a lei de Newton e foi colocado no fogo e alcançou uma temperatura de 200 graus. Em seguida, ele foi lançado num rio e, após um minuto, alcançou a temperatura de 190 graus. Considerando que a temperatura do rio era de 70 graus, determine o tempo em que a temperatura alcançou 180 graus.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que basicamente diz que a taxa com que a temperatura de um objeto muda é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente ao redor. Aqui, temos um objeto que inicialmente está no fogo a 200°C e depois é jogado num rio que está a 70°C. Após 1 minuto no rio, a temperatura do objeto cai para 190°C. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para a temperatura do objeto chegar a 180°C. Para resolver isso, vamos usar a equação da Lei de Resfriamento de Newton e fazer umas contas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da Lei de Resfriamento de Newton. A equação diferencial que descreve isso é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo -
é a temperatura do ambiente (no caso, 70°C) -
é a constante de proporcionalidade que a gente precisa encontrar
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando os dois lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
Então, isolando
:
Passo 4
Vamos usar a condição inicial para encontrar
. No tempo
minutos, a temperatura
°C. Substituindo na equação:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Agora, vamos usar a informação de que após 1 minuto, a temperatura caiu para 190°C para encontrar
. Substituindo
e
na equação:
Calculando
:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar o tempo
quando a temperatura chega a 180°C. Usamos a equação:
Resolvendo para
:
Calculando
:
Resposta
O tempo necessário para que a temperatura do objeto alcance 180°C é aproximadamente 2,09 minutos.