Esboce o gráfico da função y=y(x), x in R, sabendo que
d yd x=2 x-1 e y(0)=0

Passo 1

Vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função para todo número real , sabendo que a derivada de em relação a é e que . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função y(x) = integral (2x - 1) , dx = x^2 - x + C integrando a derivada . A integral de em relação a é e a integral de é . Então:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 3

Para achar o valor de 0 = (0)^2 - (0) + C 0 = 0 + 0 + C C = 0 , usamos a condição inicial . Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora que temos y(x) = x^2 - x , a função fica:
y(12) = (12)^2 - 12 = 14 - 12 = -14
Para esboçar o gráfico dessa função, podemos identificar alguns pontos importantes:
  • Interseção com o eixo y: Quando , .
  • Interseção com o eixo x: Resolvendo , temos e .
  • Vértice da parábola: A função é uma parábola com concavidade para cima. O vértice está no ponto onde . Calculando para :

Resposta

A função é . O gráfico é uma parábola que intercepta os eixos nos pontos e , com vértice em e abre para cima.

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