INSTITUTO FEDERAL Ceará IFCE - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIẾNCIA E TECNOLOGIA DO CEARÁ
Campus Iguatu
Disciplina: Cálculo II
Professor: Cleilton Bezerra de Melo
|c|c| hline mu avaliação parcial
Iguatu Nome:
*Observações
  1. Esta avaliação vale 10 pontos. Leia atentamente antes de respondê-la.
  2. Uso obrigatório de caneta de tinta azul ou preta. O uso de lápis implicará na perda do direito de revisão de prova.
  3. Todas as questōes devem estar devidamente justificadas.
  4. Não é permitido a utilização de calculadoras, livros, cadernos, anotaçōes, celulares e smartphones dentre outros.
  5. Em caso de cola, a prova estará automaticamente anulada.
  6. Só será permitida a saída de sala após 40 minutos do início de sua aplicação.
    Desenhe o conjunto A dado e calcule sua área. A é o conjunto do plano limitados pelos gráficos de y=2 x e y=x^2-x
    Bom desempenho!

Passo 1

O enunciado pede para desenhar e calcular a área do conjunto A limitado pelas curvas y=2x e y=x^2−x. Vamos usar integração para área entre duas curvas: primeiro achamos interseções, depois identificamos qual é a curva superior e, por fim, integramos a diferença.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
x^2 - x = 2x
que leva a
x^2 - 3x = 0 implies x(x - 3) = 0 implies x = 0 ou x = 3

Passo 3

Para ver qual curva fica acima no intervalo [0,3], comparamos y=2x e y=x^2−x. Por exemplo, em x=1 temos 2·1=2 e 1^2−1=0, logo 2x ≥ x^2−x nesse intervalo.

Passo 4

A área A é dada por
integral0^3 l(2x - (x^2 - x)r) ,dx = integral0^3 (-x^2 + 3x) ,dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral (-x^2 + 3x) dx = -x^33 + 3x^22

Passo 6

Avaliando de 0 a 3:
l(-tfrac3^33 + tfrac3cdot3^22r) - 0 = l(-9 + tfrac272r) = tfrac92

Resposta

A área do conjunto A é tfrac92 unidades de área.

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