Ainda usando o teorema de translação (forma inversa), calcule as transformadas inversas:
© L^-12 s+5s^2+6 s+34

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa L^-1(2s+5)/(s^2+6s+34). O conteúdo é Transformada de Laplace inversa usando o teorema de translação no domínio s. Vamos completar quadrados no denominador e aplicar propriedades conhecidas de cos e sin.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
s^2 + 6s + 34 = (s+3)^2 + 34 - 9 = (s+3)^2 + 25

Passo 3

Reescrevemos o numerador em função de s+3:
2s + 5 = 2(s+3) -6 +5 = 2(s+3) -1

Passo 4

Separamos a fração:
$$ \frac{2s+5}{s^2+6s+34} = \frac{2(s+3)-1}{(s+3)2+52} = \frac{2(s+3)}{(s+3)2+52}
  • \frac{1}{(s+3)2+52}. $$

Passo 5

Usamos o teorema de translação: se F(s)=Lf(t), então F(s+3) corresponde a e^-3tf(t). Além disso,
  • L^-1s/(s^2+5^2) = cos(5t),
  • L^-15/(s^2+5^2) = sin(5t)

Passo 6

Aplicando às parcelas:
  • L^-12(s+3)/[(s+3)^2+5^2] = 2e^-3tcos(5t),
  • L^-11/[(s+3)^2+5^2] = 15e^-3tsin(5t)
    Como havia sinal negativo na segunda parcela, ficamos com subtração.

Passo 7

Somando as partes, obtemos
f(t) = 2e^-3tcos(5t) - 15e^-3tsin(5t)

Resposta

f(t) = e^-3tl(2cos(5t) - tfrac15sin(5t))

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