Calcule as transformadas inversas:
(i) L^-1s(s^2+4)(s^2+2)

Passo 1

Resumo: Temos que calcular a transformada inversa f(t)=L^-1F(s), onde F(s)=s(s^2+4)(s^2+2). O conteúdo principal é transformada de Laplace inversa usando frações parciais, e vamos precisar da propriedade L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at).

Passo 2

Começamos a decompor F(s) em frações parciais. Como o numerador é ímpar (proporcional a s) e os denominadores são quadráticos, suponha que
s(s^2+4)(s^2+2)=A,ss^2+4+B,ss^2+2

Passo 3

Multiplique ambos os lados por (s^2+4)(s^2+2) e equacione:
s=A,s(s^2+2)+B,s(s^2+4)=sl[A(s^2+2)+B(s^2+4)r]

Passo 4

Para sneq0 obtemos
1=(A+B)s^2+(2A+4B)

Passo 5

Igualando coeficientes de s^2 e do termo constante, vem
A+B=0,2A+4B=1

Passo 6

Da primeira equação B=-A. Substituindo em 2A+4B=1
2A+4(-A)=1implies-2A=1implies A=-tfrac12, B=tfrac12

Passo 7

Agora reescrevemos F(s):

Passo 8

Finalmente, aplicamos L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at):
f(t)=-tfrac12cos(2t)+tfrac12cos(raiz2,t)

Resposta

f(t)=\tfrac12\bigl(\cos(\sqrt2,t)-\cos(2t))

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