Ainda utilizando o método das séries de potências, resolva a equação
y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'' + y = 0 usando séries de potências. Neste método supomos que a solução pode ser escrita como uma série em torno de x=0: y = sumn=0^infty an x^n. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da série, substituir na equação e achar uma relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Escrevemos a série e suas derivadas de segunda ordem:
y = sumn=0^infty an x^n
y'' = sumn=2^infty n(n-1),an ,x^n-2

Passo 3

Reindexamos a soma de y'' para agrupar potências de x^k. Tomando k = n-2 obtemos:
y'' = sumk=0^infty (k+2)(k+1),ak+2,x^k
Também escrevemos:
y = sumk=0^infty ak,x^k
Agora substituímos na equação y''+y=0.

Passo 4

Igualando coeficientes de x^k em
sumk=0^inftyl[(k+2)(k+1),ak+2 + akr]x^k = 0
obtemos a relação de recorrência
(k+2)(k+1),ak+2 + ak = 0
Logo:
ak+2 = -ak(k+2)(k+1)

Passo 5

Observando separadamente os termos pares e ímpares, para m>=0 temos:
a2m = (-1)^ma0(2m)!,
a2m+1 = (-1)^ma1(2m+1)!

Passo 6

Construindo as duas séries independentes:
y1 = summ=0^infty (-1)^ma0(2m)!x^2m = a0cos x,
y2 = summ=0^infty (-1)^ma1(2m+1)!x^2m+1 = a1sin x
Assim, a solução geral é a combinação linear dessas funções.

Resposta

A solução geral é y = C1cos x + C2sin x, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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