Ainda utilizando o método das séries de potências, resolva a equação
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potências. Neste método supomos que a solução pode ser escrita como uma série em torno de
:
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da série, substituir na equação e achar uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Escrevemos a série e suas derivadas de segunda ordem:
Passo 3
Reindexamos a soma de
para agrupar potências de
. Tomando
obtemos:
Também escrevemos:
Agora substituímos na equação
.
Passo 4
Igualando coeficientes de
em
obtemos a relação de recorrência
Logo:
Passo 5
Observando separadamente os termos pares e ímpares, para
temos:
Passo 6
Construindo as duas séries independentes:
Assim, a solução geral é a combinação linear dessas funções.
Resposta
A solução geral é
, onde
e
são constantes arbitrárias.