Resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O sistema dado é um sistema linear de EDOs de coeficientes constantes em
e
:
Temos
Temos
onde
Para resolver, vamos usar a teoria de sistemas lineares: encontramos os autovalores e autovetores de
e escrevemos a solução geral como combinação linear de modos próprios.
Passo 2
O próximo passo é calcular o polinômio característico de
. Fazemos
Expandindo,
Igualando a zero, obtém-se
Passo 3
Agora encontramos os autovetores correspondentes. Para
, resolvemos
Da primeira equação
vem
. Podemos escolher o autovetor
Para
, fazemos
daí
leva a
. Escolhemos
Passo 4
Pela teoria de sistemas lineares, a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias. Substituindo os autovetores, obtemos:
Isso gera as expressões individuais para
e
.
Resposta
As soluções gerais são
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.