Resolva os seguintes sistemas:

Passo 1

O sistema dado é um sistema linear de EDOs de coeficientes constantes em x(t) e y(t):
Temos
ddtxy = Axy,
onde
A = 3 & 44 & -3
Para resolver, vamos usar a teoria de sistemas lineares: encontramos os autovalores e autovetores de A e escrevemos a solução geral como combinação linear de modos próprios.

Passo 2

O próximo passo é calcular o polinômio característico de A. Fazemos
det(A - lambda I) = det3-lambda & 44 & -3-lambda = (3-lambda)(-3-lambda) - 4cdot4
Expandindo,
(3-lambda)(-3-lambda) -16 = (lambda^2 -9) -16 = lambda^2 -25
Igualando a zero, obtém-se
lambda^2 -25 = 0 Rightarrow lambda = 5,,-5

Passo 3

Agora encontramos os autovetores correspondentes. Para lambda=5, resolvemos
(A -5I)v = 0 ;Rightarrow; -2 & 44 & -8v1v2 = 0
Da primeira equação -2v1 +4v2=0 vem v2 = v1/2. Podemos escolher o autovetor
v^(1) = 21
Para lambda=-5, fazemos
(A +5I)v = 0 ;Rightarrow; 8 & 44 & 2v1v2 = 0,
daí 8v1 +4v2=0 leva a v2 = -2v1. Escolhemos
v^(2) = 1-2

Passo 4

Pela teoria de sistemas lineares, a solução geral é
x(t)y(t) = C1 e^5t v^(1) + C2 e^-5t v^(2),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. Substituindo os autovetores, obtemos:
x(t)y(t) = C1 e^5t 21 + C2 e^-5t 1-2
Isso gera as expressões individuais para x(t) e y(t).

Resposta

As soluções gerais são
x(t) = 2C1 e^5t + C2 e^-5t, y(t) = C1 e^5t -2C2 e^-5t,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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