Determine o valor da integral iterada integral1^2 integral0^1 x yx^2+y^2 d y d x com precisão de no mínimo três casas decimais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado nos pede para calcular a integral iterada integral1^2 integral0^1 x yx^2+y^2 , dy , dx com pelo menos três casas decimais de precisão. Para isso, vamos precisar entender como resolver integrais duplas e aplicar técnicas de integração, como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é integral0^1 x yx^2+y^2 , dy. Note que x é considerado constante nessa parte, já que estamos integrando em relação a y.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir u = x^2 + y^2. Então, a derivada de u em relação a y é du/dy = 2y, ou seja, dy = du2y.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral x yu cdot du2y = x2 integral 1u , du
Isso simplifica para x2 ln|u| + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, substituímos u = x^2 + y^2:
x2 ln(x^2 + y^2) + C
Agora, avaliamos essa expressão de y = 0 a y = 1:
x2 ln(x^2 + 1) - x2 ln(x^2)

Passo 6

Simplificando a expressão:
x2 [ ln(x^2 + 1) - ln(x^2) ] = x2 ln( x^2 + 1x^2 )

Passo 7

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a x de 1 a 2:
integral1^2 x2 ln( 1 + 1x^2 ) , dx
Essa integral pode ser resolvida numericamente, já que não há uma antiderivada simples.

Passo 8

Usando métodos numéricos ou uma calculadora, calculamos o valor da integral:
integral1^2 x2 ln( 1 + 1x^2 ) , dx approx 0,200

Resposta

O valor da integral iterada é aproximadamente 0,200.

Exercícios relacionados