Determine o valor da integral iterada
com precisão de no mínimo três casas decimais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado nos pede para calcular a integral iterada
com pelo menos três casas decimais de precisão. Para isso, vamos precisar entender como resolver integrais duplas e aplicar técnicas de integração, como substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é
. Note que
é considerado constante nessa parte, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Isso simplifica para
, onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original, substituímos
:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a
de 1 a 2:
Essa integral pode ser resolvida numericamente, já que não há uma antiderivada simples.
Passo 8
Usando métodos numéricos ou uma calculadora, calculamos o valor da integral:
Resposta
O valor da integral iterada é aproximadamente 0,200.