Encontre a derivada da função dada usando a definição: f(t)=3+t1-2 t

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer a derivada de f(t)= 3+t1-2t usando a definição de derivada via limite do quociente incremental. O conteúdo é limite do quociente de diferença e vamos precisar manipular frações e fatorar h.

Passo 2

Escrever a definição: pela definição,
f'(t)=limhto0f(t+h)-f(t)h=limhto03+(t+h)1-2(t+h)-3+t1-2th

Passo 3

Juntar as frações no numerador:
3+t+h1-2t-2h-3+t1-2t=(3+t+h)(1-2t)-(3+t)(1-2t-2h)(1-2t-2h)(1-2t)

Passo 4

Colocar isso sobre h e ver que o numerador sobre h é
(3+t+h)(1-2t)-(3+t)(1-2t-2h)h,(1-2t-2h)(1-2t)

Passo 5

Expandir as duas parcelas do numerador:
  • (3+t+h)(1-2t)=3+t+h-6t-2t^2-2th=3-5t+h-2t^2-2th.
  • (3+t)(1-2t-2h)=3+t-6t-2t^2-6h-2th=3-5t-2t^2-6h-2th.

Passo 6

Subtrair e simplificar:
[3-5t+h-2t^2-2th] - [3-5t-2t^2-6h-2th] = h+6h =7h

Passo 7

Logo o quociente fica
7hh,(1-2t-2h)(1-2t)=7(1-2t-2h)(1-2t)

Passo 8

Fazer o limite h→0: substituir h=0 no denominador
f'(t)=7(1-2t)^2

Resposta

f'(t)=7(1-2t)^2

Exercícios relacionados