Aintegral
converge e seu valor é:
Escolha uma opção:
◯ a.
.
◯ b.
.
◯ c.
.
◯ d.
.
◯ e.
.
◯ f.
.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ f.
Passo 1
O enunciado fornece a integral
e pede se ela converge e qual é seu valor (há opções de resposta). Informações relevantes e perguntas a responder:
- O integrando tem o fator
, que exige para ser real. Assim, para a integral estar bem definida no limite inferior, é necessário que , ou seja . - Pergunta 1 (implícita): a integral converge quando
? - Pergunta 2: calcular o valor da integral em função de
(ou, para o admitido, identificar qual das opções dadas coincide com esse valor).
Passo 2
Vamos estudar convergência e computar a integral de forma geral para uma cota inferior
. Primeiro, substituo
só depois; por enquanto trabalho com
Um método natural para lidar com
é a substituição trigonométrica
. Vou explicar por que isso ajuda:
- Para
podemos escrever com . - Com
temos e .
Essa substituição simplifica muito a raiz.
Passo 3
Faço a substituição
. Então
O integrando vira
Os limites:
corresponde a
com
(ou
), e
corresponde a
. Portanto
Passo 4
Calculo a primitiva de
. Uma forma prática é usar
e fazer a substituição
. Assim uma primitiva é
Logo
No limite superior
temos
, então a contribuição superior é
. Portanto
Passo 5
Agora expresso
em termos de
. Como
e
significa
, então
Chamo
para clareza. Substituindo em
,
Posso simplificar esse parêntese:
Como
, obtemos
. Assim
Portanto a forma final em função de
é
Passo 6
Volto à variável
. O enunciado dá
. Então, substituindo
em
obtemos (faço a conta passo a passo):
-
, então e . -
. -
.
Substituindo em
:
Portanto, para
,
Passo 7
Agora identifico qual das alternativas coincide com essa expressão para algum
. As alternativas mostram termos com
, o que sugere que
é tal que
seja múltiplo de
. Uma escolha natural que dá termos simples é
, pois então
logo
.
Vou verificar a expressão geral com .
Vou verificar a expressão geral com
Passo 8
Substituo
na fórmula
Calculo passo a passo:
e já achei
. Além disso
Logo o numerador do termo subtraído é
e o denominador é
. Portanto
Passo 9
Substituindo no resultado geral, obtemos para
Isso coincide exatamente com a alternativa marcada (b).
Resposta
(b)