Aintegral \int_{\frac{\mathrm{k}}{5}}^{+\infty} \frac{d x}{x^{4} \sqrt{x^{2}-1}} converge e seu valor é:
Escolha uma opção:
◯ a. -\frac{1}{3}-\frac{22 \sqrt{5}}{81}.
◯ b. \frac{2}{3}-\frac{22 \sqrt{5}}{81}.
◯ c. 2-\frac{22 \sqrt{5}}{27}.
◯ d. \frac{2}{3}-\frac{32 \sqrt{5}}{81}.
◯ e. \frac{22 \sqrt{5}}{81}.
◯ f. \frac{1}{3}-\frac{22 \sqrt{5}}{81}.

Passo 1

O enunciado fornece a integral
\int_{\frac{k}{5}}^{+\infty}\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-1}}
e pede se ela converge e qual é seu valor (há opções de resposta). Informações relevantes e perguntas a responder:
  • O integrando tem o fator \sqrt{x^{2}-1}, que exige x\ge 1 para ser real. Assim, para a integral estar bem definida no limite inferior, é necessário que \dfrac{k}{5}\ge 1, ou seja k\ge 5.
  • Pergunta 1 (implícita): a integral converge quando k\ge 5?
  • Pergunta 2: calcular o valor da integral em função de k (ou, para o k admitido, identificar qual das opções dadas coincide com esse valor).

Passo 2

Vamos estudar convergência e computar a integral de forma geral para uma cota inferior a\ge1. Primeiro, substituo a=\dfrac{k}{5} só depois; por enquanto trabalho com
I(a)=\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-1}},\qquad a\ge 1.
Um método natural para lidar com \sqrt{x^{2}-1} é a substituição trigonométrica x=\operatorname{sec}\theta. Vou explicar por que isso ajuda:
  • Para x\ge1 podemos escrever x=\operatorname{sec}\theta com \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}).
  • Com x=\operatorname{sec}\theta temos \sqrt{x^{2}-1}=\tan\theta e dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
    Essa substituição simplifica muito a raiz.

Passo 3

Faço a substituição x=\operatorname{sec}\theta. Então
dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{x^{2}-1}=\tan\theta,\qquad x^{4}=\operatorname{sec}^{4}\theta.
O integrando vira
\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta\cdot\tan\theta} =\frac{1}{\operatorname{sec}^{3}\theta}\,d\theta=\cos^{3}\theta\,d\theta.
Os limites: x=a corresponde a \theta=\theta_a com \theta_a=\operatorname{sec}^{-1}(a) (ou \sin\theta_a=\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}), e x\to\infty corresponde a \theta\to\tfrac{\pi}{2}. Portanto
I(a)=\int_{\theta_a}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Calculo a primitiva de \cos^{3}\theta. Uma forma prática é usar \cos^{3}\theta=\cos\theta(1-\sin^{2}\theta) e fazer a substituição u=\sin\theta. Assim uma primitiva é
\int\cos^{3}\theta\,d\theta=\int\cos\theta(1-\sin^{2}\theta)\,d\theta=\sin\theta-\frac{1}{3}\sin^{3}\theta + C.
Logo
I(a)=\left[\sin\theta-\frac{1}{3}\sin^{3}\theta\right]_{\theta_a}^{\frac{\pi}{2}}.
No limite superior \theta=\tfrac{\pi}{2} temos \sin\theta=1, então a contribuição superior é 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}. Portanto
I(a)=\frac{2}{3}-\left(\sin\theta_a-\frac{1}{3}\sin^{3}\theta_a\right).

Passo 5

Agora expresso \sin\theta_a em termos de a. Como x=\operatorname{sec}\theta e x=a significa \cos\theta_a=\dfrac{1}{a}, então
\sin\theta_a=\sqrt{1-\cos^{2}\theta_a}=\sqrt{1-\frac{1}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}.
Chamo S=\sqrt{a^{2}-1} para clareza. Substituindo em I(a),
I(a)=\frac{2}{3}-\left(\frac{S}{a}-\frac{1}{3}\frac{S^{3}}{a^{3}}\right).
Posso simplificar esse parêntese:
\frac{S}{a}-\frac{1}{3}\frac{S^{3}}{a^{3}}=\frac{1}{3a^{3}}\,S\left(3a^{2}-S^{2}\right).
Como S^{2}=a^{2}-1, obtemos 3a^{2}-S^{2}=3a^{2}-(a^{2}-1)=2a^{2}+1. Assim
\frac{S}{a}-\frac{1}{3}\frac{S^{3}}{a^{3}}=\frac{S(2a^{2}+1)}{3a^{3}}.
Portanto a forma final em função de a é
\boxed{\,I(a)=\frac{2}{3}-\frac{(2a^{2}+1)\sqrt{a^{2}-1}}{3a^{3}}\,},\qquad a\ge 1.

Passo 6

Volto à variável k. O enunciado dá a=\dfrac{k}{5}. Então, substituindo a=\dfrac{k}{5} em I(a) obtemos (faço a conta passo a passo):
  • a^{2}=\dfrac{k^{2}}{25}, então a^{2}-1=\dfrac{k^{2}-25}{25} e \sqrt{a^{2}-1}=\dfrac{\sqrt{k^{2}-25}}{5}.
  • a^{3}=\dfrac{k^{3}}{125}.
  • 2a^{2}+1=\dfrac{2k^{2}}{25}+1=\dfrac{2k^{2}+25}{25}.
Substituindo em I(a):
I\!\left(\frac{k}{5}\right) =\frac{2}{3}-\frac{\dfrac{\sqrt{k^{2}-25}}{5}\cdot\dfrac{2k^{2}+25}{25}}{3\cdot\dfrac{k^{3}}{125}} =\frac{2}{3}-\frac{(2k^{2}+25)\sqrt{k^{2}-25}}{3k^{3}}.
Portanto, para k\ge 5,
\boxed{\,\int_{\frac{k}{5}}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{2}{3}-\frac{(2k^{2}+25)\sqrt{k^{2}-25}}{3k^{3}}\,.}

Passo 7

Agora identifico qual das alternativas coincide com essa expressão para algum k\ge 5. As alternativas mostram termos com \sqrt{5}, o que sugere que k é tal que k^{2}-25 seja múltiplo de 5. Uma escolha natural que dá termos simples é k=\dfrac{15}{2}, pois então
k^{2}=\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4},\qquad k^{2}-25=\frac{225}{4}-25=\frac{225-100}{4}=\frac{125}{4},
logo \sqrt{k^{2}-25}=\sqrt{\dfrac{125}{4}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}.
Vou verificar a expressão geral com k=\dfrac{15}{2}.

Passo 8

Substituo k=\dfrac{15}{2} na fórmula
\frac{(2k^{2}+25)\sqrt{k^{2}-25}}{3k^{3}}.
Calculo passo a passo:
2k^{2}+25=2\cdot\frac{225}{4}+25=\frac{225}{2}+25=\frac{225+50}{2}=\frac{275}{2},
e já achei \sqrt{k^{2}-25}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}. Além disso
k^{3}=\left(\frac{15}{2}\right)^{3}=\frac{3375}{8}.
Logo o numerador do termo subtraído é
\left(\frac{275}{2}\right)\left(\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{1375\sqrt{5}}{4},
e o denominador é 3k^{3}=3\cdot\frac{3375}{8}=\frac{10125}{8}. Portanto
\frac{(2k^{2}+25)\sqrt{k^{2}-25}}{3k^{3}} =\frac{\dfrac{1375\sqrt{5}}{4}}{\dfrac{10125}{8}} =\frac{1375\sqrt{5}}{4}\cdot\frac{8}{10125} =\frac{11000\sqrt{5}}{40500} =\frac{22\sqrt{5}}{81}.

Passo 9

Substituindo no resultado geral, obtemos para k=\dfrac{15}{2}
\int_{\frac{k}{5}}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{2}{3}-\frac{22\sqrt{5}}{81}.
Isso coincide exatamente com a alternativa marcada (b).

Resposta

(b) \displaystyle \frac{2}{3}-\frac{22 \sqrt{5}}{81}

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