Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^{2}-6 x+9 e y=-2 x^{2}+12 x-15 em tomo do eixo y=-1 usando o método dos discos.
Escolha uma opção:
◯ 9. 2 \pi \int_{0}^{1}(y+1)(2 \sqrt{y}) d y+2 \pi \int_{1}^{3}(y+1)\left(2 \sqrt{\frac{3-y}{2}}\right) d y
◯ a. \pi \int_{0}^{1}\left[(\sqrt{y}+3)^{2}-(-\sqrt{y}+3)^{2}\right] d y+\pi \int_{1}^{3}\left[\left(\sqrt{\frac{3-y}{2}}+3\right)^{2}-\left(-\sqrt{\frac{3-y}{2}}+3\right)^{2}\right] d y
◯ b. \pi \int_{2}^{4}\left[\left(-2 x^{2}+12 x-14\right)^{2}-\left(x^{2}-6 x+10\right)^{2}\right] d x
◯ c. \pi \int_{2}^{4}\left[\left(-2 x^{2}+12 x-15\right)^{2}-\left(x^{2}-6 x+9\right)^{2}\right] d x
◯ d. 2 \pi \int_{2}^{4}(x+1)\left(-3 x^{2}+18 x-24\right) d x
◯ e. \pi \int_{0}^{1}\left[(\sqrt{y}+4)^{2}-(-\sqrt{y}+4)^{2}\right] d y+\pi \int_{1}^{3}\left[\left(\sqrt{\frac{3-y}{2}}+4\right)^{2}-\left(-\sqrt{\frac{3-y}{2}}+4\right)^{2}\right] d y
◯ f. 2 \pi \int_{0}^{1} y(2 \sqrt{y}) d y+2 \pi \int_{1}^{3} y\left(2 \sqrt{\frac{3-y}{2}}\right) d y
◯ h. 2 \pi \int_{2}^{4} x\left(-3 x^{2}+18 x-24\right) d x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^{2}-6x+9 e y=-2x^{2}+12x-15 em torno do eixo y=-1, usando o método dos discos (lavadores/washers).
Informações dadas:
  • Curva 1 (parábola): y_1(x)=x^{2}-6x+9.
  • Curva 2 (parábola): y_2(x)=-2x^{2}+12x-15.
  • Eixo de rotação: y=-1.
  • O enunciado oferece várias opções de integrais; preciso identificar qual delas representa corretamente o volume usando o método dos discos.

Passo 2

Primeiro encontro os pontos de interseção das curvas para saber os limites de integração em x. Igualo y_1 e y_2:
x^{2}-6x+9 = -2x^{2}+12x-15.
Levo tudo para um lado:
x^{2}+2x^{2}-6x-12x+9+15=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-18x+24=0.
Dividindo por 3:
x^{2}-6x+8=0.
Resolvo a quadrática (fatorando ou fórmula):
x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \text{ ou } x=4.
Logo a região está entre x=2 e x=4.

Passo 3

Para aplicar o método dos discos (lavadores) preciso saber qual curva é a superior (maior y) e qual é a inferior no intervalo [2,4]. Avalio ambas em um ponto intermediário, por exemplo x=3:
y_1(3)=3^{2}-6\cdot3+9=9-18+9=0,
y_2(3)=-2\cdot3^{2}+12\cdot3-15=-18+36-15=3.
Como y_2(3)=3>0=y_1(3), concluímos que, para x\in(2,4), y_2 é a curva superior e y_1 é a curva inferior.

Passo 4

Explico a fórmula do método dos discos (lavadores) para rotação em torno de uma linha horizontal y=k:
  • Em um dado x, o raio externo R(x) é a distância vertical do eixo de rotação até a curva superior: R(x)=y_{\text{superior}}(x)-k.
  • O raio interno r(x) é a distância vertical do eixo de rotação até a curva inferior: r(x)=y_{\text{inferior}}(x)-k.
  • A área do lavador em x é A(x)=\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big).
  • O volume é V=\int_{x=a}^{x=b}\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,dx.
    Aqui k=-1, portanto a distância de uma curva y(x) ao eixo é y(x)-(-1)=y(x)+1.

Passo 5

Aplico as fórmulas às nossas curvas (lembrando que y_2 é superior e y_1 é inferior):
R(x)=y_2(x)+1 = \big(-2x^{2}+12x-15\big)+1 = -2x^{2}+12x-14,
r(x)=y_1(x)+1 = \big(x^{2}-6x+9\big)+1 = x^{2}-6x+10.
Então a integral do volume pelo método dos discos é
V=\pi\int_{2}^{4}\Big[\big(-2x^{2}+12x-14\big)^{2}-\big(x^{2}-6x+10\big)^{2}\Big]\,dx.

Passo 6

Agora comparo com as opções dadas: a opção que coincide exatamente com a integral encontrada é a opção b:
\text{b. }\pi \int_{2}^{4}\left[\left(-2 x^{2}+12 x-14\right)^{2}-\left(x^{2}-6 x+10\right)^{2}\right] d x.
Portanto essa é a expressão correta para o volume usando o método dos discos em torno de y=-1.

Resposta

b.

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