Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em tomo do eixo
usando o método dos discos.
Escolha uma opção:
◯ 9.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ f.
◯ h.
Escolha uma opção:
◯ 9.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ f.
◯ h.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
, usando o método dos discos (lavadores/washers).
Informações dadas:
Informações dadas:
- Curva 1 (parábola):
. - Curva 2 (parábola):
. - Eixo de rotação:
. - O enunciado oferece várias opções de integrais; preciso identificar qual delas representa corretamente o volume usando o método dos discos.
Passo 2
Primeiro encontro os pontos de interseção das curvas para saber os limites de integração em
. Igualo
e
:
Levo tudo para um lado:
Dividindo por
:
Resolvo a quadrática (fatorando ou fórmula):
Logo a região está entre
e
.
Passo 3
Para aplicar o método dos discos (lavadores) preciso saber qual curva é a superior (maior
) e qual é a inferior no intervalo
. Avalio ambas em um ponto intermediário, por exemplo
:
Como
, concluímos que, para
,
é a curva superior e
é a curva inferior.
Passo 4
Explico a fórmula do método dos discos (lavadores) para rotação em torno de uma linha horizontal
:
- Em um dado
, o raio externo é a distância vertical do eixo de rotação até a curva superior: . - O raio interno
é a distância vertical do eixo de rotação até a curva inferior: . - A área do lavador em
é . - O volume é
.
Aqui, portanto a distância de uma curva ao eixo é .
Passo 5
Aplico as fórmulas às nossas curvas (lembrando que
é superior e
é inferior):
Então a integral do volume pelo método dos discos é
Passo 6
Agora comparo com as opções dadas: a opção que coincide exatamente com a integral encontrada é a opção
:
Portanto essa é a expressão correta para o volume usando o método dos discos em torno de
.
Resposta
b.