Ajuste os dados abaixo por uma exponencial
-1
0
1
3.1
0.9
2.9
|
|
-1 | 0 | 1 |
|
|
3.1 | 0.9 | 2.9 |
Passo 1
O enunciado pede ajustar os dados por uma exponencial da forma
.
Dados fornecidos (três pontos):
- Para
tem . - Para
tem . - Para
tem .
O objetivo concreto: encontrar os parâmetros
e
que dão a “melhor” exponencial que aproxima esses pontos. Não foi especificado outro critério, então vamos usar o procedimento padrão: ajustar por mínimos quadrados após linearizar a exponencial (explicarei por que e como).
Passo 2
Por que linearizar e qual hipótese estamos fazendo?
- A função
pode ser escrita tomando logaritmo natural:
- Definindo
, e , obtemos o modelo linear
- Ajustar uma reta
aos pontos por mínimos quadrados é um método simples e usual para ajustar exponenciais: ele minimiza o somatório dos quadrados dos erros em escala logarítmica, ou seja, é equivalente a minimizar erros relativos nos originais. - Vantagem: o problema linearizado dá fórmulas fechadas (fáceis de calcular) para
e . Essa é a técnica que usaremos porque é direta e ensinada antes de métodos não-lineares mais pesados.
Passo 3
Transformar os dados para a forma linear tomando logaritmo natural dos
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Vamos calcular numericamente (aproximações suficientes para uma prova):
Calculemos as somas necessárias para os coeficientes da regressão linear:
-
(número de pontos). -
. -
-
-
Passo 4
Fórmulas da regressão linear (normais):
Como
aqui, as fórmulas simplificam bastante:
Substituindo os números:
Passo 5
Voltar dos logs para os parâmetros da exponencial:
Calculando (aproximações):
Assim o ajuste exponencial encontrado é
Passo 6
Verificação rápida (para ter intuição e ver os erros):
-
(comparado com ). -
(comparado com ). -
(comparado com ).
Observação final didática: os dados originais (
) não seguem bem uma curva exponencial simples (parecem “alto — baixo — alto”), por isso as discrepâncias entre valores ajustados e observados. O método que usamos minimiza os erros em escala logarítmica; se o critério desejado fosse minimizar erro absoluto nos
originais, seria necessário um ajuste não-linear por mínimos quadrados (mais trabalhoso). Para provas rápidas, a linearização por logaritmo é a técnica padrão e aceitável.