Ajuste os dados abaixo por uma exponencial \varphi(x)=\alpha_{1} \alpha_{2}{ }^{\mathrm{x}}
X -1 0 1
f(x) 3.1 0.9 2.9

Passo 1

O enunciado pede ajustar os dados por uma exponencial da forma \varphi(x)=\alpha_{1}\,\alpha_{2}^{x}.
Dados fornecidos (três pontos):
  • Para x=-1 tem f(-1)=3,1.
  • Para x=0 tem f(0)=0,9.
  • Para x=1 tem f(1)=2,9.
O objetivo concreto: encontrar os parâmetros \alpha_{1} e \alpha_{2} que dão a “melhor” exponencial que aproxima esses pontos. Não foi especificado outro critério, então vamos usar o procedimento padrão: ajustar por mínimos quadrados após linearizar a exponencial (explicarei por que e como).

Passo 2

Por que linearizar e qual hipótese estamos fazendo?
  • A função \varphi(x)=\alpha_{1}\,\alpha_{2}^{x} pode ser escrita tomando logaritmo natural:
\ln\varphi(x)=\ln\alpha_{1}+x\ln\alpha_{2}.
  • Definindo y=\ln f(x), A=\ln\alpha_{1} e B=\ln\alpha_{2}, obtemos o modelo linear
y = A + Bx.
  • Ajustar uma reta y=A+Bx aos pontos (x,y) por mínimos quadrados é um método simples e usual para ajustar exponenciais: ele minimiza o somatório dos quadrados dos erros em escala logarítmica, ou seja, é equivalente a minimizar erros relativos nos f originais.
  • Vantagem: o problema linearizado dá fórmulas fechadas (fáceis de calcular) para A e B. Essa é a técnica que usaremos porque é direta e ensinada antes de métodos não-lineares mais pesados.

Passo 3

Transformar os dados para a forma linear tomando logaritmo natural dos f:
  • Para x=-1: y_{1}=\ln f(-1)=\ln 3,1.
  • Para x=0: y_{2}=\ln f(0)=\ln 0,9.
  • Para x=1: y_{3}=\ln f(1)=\ln 2,9.
Vamos calcular numericamente (aproximações suficientes para uma prova):
\ln 3,1 \approx 1,131402,\qquad \ln 0,9 \approx -0,105361,\qquad \ln 2,9 \approx 1,064711.
Calculemos as somas necessárias para os coeficientes da regressão linear:
  • n=3 (número de pontos).
  • \sum x = (-1)+0+1 = 0.
  • \sum y = 1,131402 + (-0,105361) + 1,064711 = 2,090752.
  • \sum x^{2} = (-1)^{2}+0^{2}+1^{2} = 2.
  • \sum x y = (-1)\cdot 1,131402 + 0\cdot(-0,105361) + 1\cdot 1,064711 = -0,066691.

Passo 4

Fórmulas da regressão linear (normais):
B = \frac{n\sum(xy) - \sum x \sum y}{\,n\sum(x^{2})-(\sum x)^{2}\,},\qquad A = \frac{\sum y - B\sum x}{n}.
Como \sum x = 0 aqui, as fórmulas simplificam bastante:
B = \frac{\sum(xy)}{\sum(x^{2})},\qquad A = \frac{\sum y}{n}.
Substituindo os números:
B = \frac{-0,066691}{2} = -0,0333455\quad(\text{aprox.}),
A = \frac{2,090752}{3} = 0,6969173\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Voltar dos logs para os parâmetros da exponencial:
A=\ln\alpha_{1}\quad\Rightarrow\quad \alpha_{1}=e^{A},
B=\ln\alpha_{2}\quad\Rightarrow\quad \alpha_{2}=e^{B}.
Calculando (aproximações):
\alpha_{1}=e^{0,6969173}\approx 2,00773,
\alpha_{2}=e^{-0,0333455}\approx 0,96720.
Assim o ajuste exponencial encontrado é
\varphi(x)\approx 2,00773\cdot 0,96720^{\,x}.

Passo 6

Verificação rápida (para ter intuição e ver os erros):
  • \varphi(-1)=2,00773\cdot 0,96720^{-1}\approx 2,0763 (comparado com f(-1)=3,1).
  • \varphi(0)=2,00773 (comparado com f(0)=0,9).
  • \varphi(1)=2,00773\cdot 0,96720\approx 1,9425 (comparado com f(1)=2,9).
Observação final didática: os dados originais ( 3,1;\,0,9;\,2,9) não seguem bem uma curva exponencial simples (parecem “alto — baixo — alto”), por isso as discrepâncias entre valores ajustados e observados. O método que usamos minimiza os erros em escala logarítmica; se o critério desejado fosse minimizar erro absoluto nos f originais, seria necessário um ajuste não-linear por mínimos quadrados (mais trabalhoso). Para provas rápidas, a linearização por logaritmo é a técnica padrão e aceitável.

Resposta

\displaystyle \varphi(x)\approx 2,00773\cdot 0,96720^{\,x}

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