Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pela de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a,b] e compare os resultados
Passo 1
O enunciado pede que se aproxime a integral
pelas fórmulas compostas da regra dos trapézios e de Simpson, usando
e
divisões do intervalo
, e que se compare os resultados. As informações dadas:
- Função a integrar:
. - Intervalo:
. - Dois valores de
(número de subintervalos): e .
O objetivo é calcular as aproximações pelos dois métodos para cadae comparar com o valor exato (quando conveniente).
Passo 2
Apresentar as fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo).
- Partição: dividir
em subintervalos iguais. O tamanho do passo é
Os pontos da partição são
para
.
- Regra composta dos trapézios:
Aqui
é a aproximação com
subintervalos; soma-se as alturas nos nós internos multiplicadas por
e adiciona-se as extremidades.
- Regra composta de Simpson (só vale para
par):
Aqui os nós de índice ímpar entram com fator
e os pares (exceto extremos) com fator
.
Passo 3
Calcular o valor exato (para referência/erro). A primitiva de
é
, logo
Usando valores numéricos padrão para
:
portanto o valor exato aproximado é
Esse será nosso referência para comparar erros.
Passo 4
Caso
: calcular
, os nós
e os valores
.
-
. - Nós:
- Valores
(aproximações decimais):
Passo 5
Aplicar a regra dos trapézios para
.
- Usar a fórmula
- Substituindo os valores:
- Como
, temos
- Erro absoluto relativo ao valor exato:
Passo 6
Aplicar a regra de Simpson para
.
- Fórmula (com
):
- Calcular o parêntese:
- Como
,
- Erro absoluto:
Passo 7
Caso
: calcular
, os nós
e os valores
.
-
. - Nós:
- Valores
(aproximações):
Passo 8
Aplicar a regra dos trapézios para
.
- Fórmula:
- Soma dos nós internos:
- Substituindo:
- Como
(igual a ),
- Erro absoluto:
Passo 9
Aplicar a regra de Simpson para
.
- Fórmula (com
):
- Somas:
- Parêntese total:
- Como
,
- Erro absoluto:
Passo 10
Comparação e observações finais (curta, motivadora):
- Para os dois
testados, a regra de Simpson é muito mais precisa do que a dos trapézios: já é bem próximo do exato (erro da ordem ) e reduz o erro para a ordem de — neste cálculo ficou cerca de . - A regra dos trapézios melhora ao aumentar
(compare e ), mas ainda assim, para funções suaves como , Simpson (que usa polinômios quadráticos por subintervalo) costuma convergir mais rápido. - Parabéns: você agora tem as quatro aproximações e as comparei com o valor exato — pronto para usar esses procedimentos na prova! Força aí, tu consegue!
Resposta
Trapézios com
:
Simpson com :
Trapézios com :
Simpson com :
Valor exato:
Simpson com
Trapézios com
Simpson com
Valor exato: