Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pela de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a,b] e compare os resultados
\int e^{x} d x \quad[a, b]=[1,2]

Passo 1

O enunciado pede que se aproxime a integral
\int_{1}^{2} e^{x}\,dx
pelas fórmulas compostas da regra dos trapézios e de Simpson, usando 4 e 6 divisões do intervalo [1,2], e que se compare os resultados. As informações dadas:
  • Função a integrar: f(x)=e^{x}.
  • Intervalo: [a,b]=[1,2].
  • Dois valores de n (número de subintervalos): n=4 e n=6.
    O objetivo é calcular as aproximações pelos dois métodos para cada n e comparar com o valor exato (quando conveniente).

Passo 2

Apresentar as fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo).
  • Partição: dividir [a,b] em n subintervalos iguais. O tamanho do passo é
h=\frac{b-a}{n}.
Os pontos da partição são x_i=a+i h para i=0,1,\dots,n.
  • Regra composta dos trapézios:
T_n=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Bigr).
Aqui T_n é a aproximação com n subintervalos; soma-se as alturas nos nós internos multiplicadas por 2 e adiciona-se as extremidades.
  • Regra composta de Simpson (só vale para n par):
S_n=\frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+4\sum_{\substack{i=1\i\\ \text{ímpar}}}^{n-1}f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\i\\ \text{par}}}^{n-2}f(x_i)+f(x_n)\Bigr).
Aqui os nós de índice ímpar entram com fator 4 e os pares (exceto extremos) com fator 2.

Passo 3

Calcular o valor exato (para referência/erro). A primitiva de e^{x} é e^{x}, logo
\int_{1}^{2} e^{x}\,dx = e^{2}-e^{1} = e^{2}-e.
Usando valores numéricos padrão para e:
e\approx 2{,}718281828,\qquad e^{2}\approx 7{,}389056099,
portanto o valor exato aproximado é
\int_{1}^{2} e^{x}\,dx = e^{2}-e \approx 4{,}670774271.
Esse será nosso referência para comparar erros.

Passo 4

Caso n=4: calcular h, os nós x_i e os valores f(x_i)=e^{x_i}.
  • h=\dfrac{2-1}{4}=0{,}25.
  • Nós: x_0=1{,}00,\quad x_1=1{,}25,\quad x_2=1{,}50,\quad x_3=1{,}75,\quad x_4=2{,}00.
  • Valores f(x_i)=e^{x_i} (aproximações decimais): \begin{aligned} f(x_0)&=e^{1{,}00}\approx 2{,}718281828,\\\ f(x_1)&=e^{1{,}25}\approx 3{,}490342957,\\\ f(x_2)&=e^{1{,}50}\approx 4{,}481689071,\\\ f(x_3)&=e^{1{,}75}\approx 5{,}754602676,\\\ f(x_4)&=e^{2{,}00}\approx 7{,}389056099. \end{aligned}

Passo 5

Aplicar a regra dos trapézios para n=4.
  • Usar a fórmula
T_4=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_0)+2(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3))+f(x_4)\Bigr).
  • Substituindo os valores:
\begin{aligned} \text{parêntese} &= 2{,}718281828 + 2(3{,}490342957+4{,}481689071+5{,}754602676) + 7{,}389056099\\\ &= 2{,}718281828 + 2(13{,}726634704) + 7{,}389056099\\\ &= 2{,}718281828 + 27{,}453269408 + 7{,}389056099\\\ &= 37{,}560607335. \end{aligned}ê
  • Como h/2=0{,}125, temos
T_4 = 0{,}125\times 37{,}560607335 \approx 4{,}695075917.
  • Erro absoluto relativo ao valor exato:
|T_4-(e^{2}-e)|\approx |4{,}695075917-4{,}670774271| \approx 0{,}024301646.

Passo 6

Aplicar a regra de Simpson para n=4.
  • Fórmula (com h=0{,}25):
S_4=\frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+4(f(x_1)+f(x_3))+2(f(x_2))+f(x_4)\Bigr).
  • Calcular o parêntese:
\begin{aligned} \text{parêntese} &= 2{,}718281828 + 4(3{,}490342957+5{,}754602676) + 2(4{,}481689071) + 7{,}389056099\\\ &= 2{,}718281828 + 4(9{,}244945633) + 8{,}963378142 + 7{,}389056099\\\ &= 2{,}718281828 + 36{,}979782532 + 8{,}963378142 + 7{,}389056099\\\ &= 56{,}050498601. \end{aligned}ê
  • Como h/3=0{,}25/3\approx 0{,}08333333333,
S_4 \approx 0{,}08333333333\times 56{,}050498601 \approx 4{,}670874883.
  • Erro absoluto:
|S_4-(e^{2}-e)|\approx |4{,}670874883-4{,}670774271| \approx 0{,}000100612.

Passo 7

Caso n=6: calcular h, os nós x_i e os valores f(x_i)=e^{x_i}.
  • h=\dfrac{2-1}{6}\approx 0{,}1666666667.
  • Nós: \begin{aligned} x_0&=1{,}000000000,\\\ x_1&=1{,}166666667,\\\ x_2&=1{,}333333333,\\\ x_3&=1{,}500000000,\\\ x_4&=1{,}666666667,\\\ x_5&=1{,}833333333,\\\ x_6&=2{,}000000000. \end{aligned}
  • Valores f(x_i)=e^{x_i} (aproximações): \begin{aligned} f(x_0)&=e^{1{,}00}\approx 2{,}718281828,\\\ f(x_1)&=e^{1{,}166666667}\approx 3{,}211270696,\\\ f(x_2)&=e^{1{,}333333333}\approx 3{,}793665528,\\\ f(x_3)&=e^{1{,}50}\approx 4{,}481689071,\\\ f(x_4)&=e^{1{,}666666667}\approx 5{,}294490000,\\\ f(x_5)&=e^{1{,}833333333}\approx 6{,}254700306,\\\ f(x_6}&=e^{2{,}00}\approx 7{,}389056099. \end{aligned}

Passo 8

Aplicar a regra dos trapézios para n=6.
  • Fórmula:
T_6=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{5}f(x_i)+f(x_6)\Bigr).
  • Soma dos nós internos:
\sum_{i=1}^{5}f(x_i)=3{,}211270696+3{,}793665528+4{,}481689071+5{,}294490000+6{,}254700306 \approx 23{,}035815601.
  • Substituindo:
\begin{aligned} \text{parêntese} &= 2{,}718281828 + 2(23{,}035815601) + 7{,}389056099\\\ &= 2{,}718281828 + 46{,}071631202 + 7{,}389056099\\\ &= 56{,}178969129. \end{aligned}ê
  • Como h/2\approx 0{,}08333333333 (igual a 1/12),
T_6 \approx 0{,}08333333333\times 56{,}178969129 \approx 4{,}681580761.
  • Erro absoluto:
|T_6-(e^{2}-e)|\approx |4{,}681580761-4{,}670774271| \approx 0{,}010806490.

Passo 9

Aplicar a regra de Simpson para n=6.
  • Fórmula (com h=1/6):
S_6=\frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+4\sum_{\substack{i=1\i\\ \text{ímpar}}}^{5}f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\i\\ \text{par}}}^{4}f(x_i)+f(x_6)\Bigr).
  • Somas: \begin{aligned} \sum_{\substack{i=1\i\\ \text{ímpar}}}^{5}f(x_i)&=f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)\\\ &\approx 3{,}211270696+4{,}481689071+6{,}254700306\\\ &\approx 13{,}947660073,\\[4pt] \sum_{\substack{i=2\i\\ \text{par}}}^{4}f(x_i)&=f(x_2)+f(x_4)\approx 3{,}793665528+5{,}294490000\\\ &\approx 9{,}088155528. \end{aligned}
  • Parêntese total:
\begin{aligned} \text{parêntese} &= 2{,}718281828 + 4(13{,}947660073) + 2(9{,}088155528) + 7{,}389056099\\\ &= 2{,}718281828 + 55{,}790640292 + 18{,}176311056 + 7{,}389056099\\\ &= 84{,}074289275. \end{aligned}ê
  • Como h/3=(1/6)/3=1/18\approx 0{,}05555555556,
S_6 \approx 0{,}05555555556\times 84{,}074289275 \approx 4{,}670793850.
  • Erro absoluto:
|S_6-(e^{2}-e)|\approx |4{,}670793850-4{,}670774271| \approx 0{,}000019579.]

Passo 10

Comparação e observações finais (curta, motivadora):
  • Para os dois n testados, a regra de Simpson é muito mais precisa do que a dos trapézios: S_4 já é bem próximo do exato (erro da ordem 10^{-4}) e S_6 reduz o erro para a ordem de 10^{-5} — neste cálculo ficou cerca de 2\times10^{-5}.
  • A regra dos trapézios melhora ao aumentar n (compare T_4 e T_6), mas ainda assim, para funções suaves como e^{x}, Simpson (que usa polinômios quadráticos por subintervalo) costuma convergir mais rápido.
  • Parabéns: você agora tem as quatro aproximações e as comparei com o valor exato — pronto para usar esses procedimentos na prova! Força aí, tu consegue!

Resposta

Trapézios com n=4: T_4 \approx 4{,}695075917
Simpson com n=4: S_4 \approx 4{,}670874883
Trapézios com n=6: T_6 \approx 4{,}681580761
Simpson com n=6: S_6 \approx 4{,}670793850
Valor exato: \displaystyle \int_{1}^{2}e^{x}\,dx = e^{2}-e \approx 4{,}670774271

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