1 Resolver os sitemas linares abaixo pelo método da eliminação de Gauss. Resolva primeiro sem estratégia de pivoteamento e depois usando estratégia de pivoteamento parcial.
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os sistemas que temos de resolver (cada item abaixo foi extraído do enunciado).
Pedido geral: resolver cada sistema linear pelo método da eliminação de Gauss:
primeiro sem estratégia de pivoteamento (usar as linhas na ordem dada, sem trocar linhas deliberadamente);
depois usando estratégia de pivoteamento parcial (em cada passo, trocar a linha atual pela linha abaixo que tem o maior valor absoluto na coluna do pivô).
Observações importantes que vou seguir em toda a resolução:
Represento cada sistema pela sua matriz aumentada e aplico operações elementares de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não-zero e somar múltiplos de uma linha a outra.
O multiplicador para zerar uma entrada abaixo do pivô na coluna j é m=\dfrac{a_{i j}}{a_{j j}} (para eliminar o elemento da linha i usando a linha j); faço R_i \leftarrow R_i - m R_j.
Depois de triangular (eliminar abaixo dos pivôs), faço substituição regressiva (back-substitution) para achar as incógnitas.
Quando fizer comparações de pivôs em pivoteamento parcial, uso o valor absoluto das entradas da coluna do pivô.]
Passo 2
Sistema (I): montando a matriz aumentada (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado)
Pivoteamento parcial, etapa 1 (coluna 1): comparo valores absolutos na coluna 1 das linhas 1…3: |1|,|{-1}|,|3| são 1,1,3. Maior é 3 na linha 3, então troco R_1\leftrightarrow R_3.
Matriz após troca:
Etapa 2 (coluna 2): entre linhas 2…4, os valores absolutos na coluna 2 são \tfrac{7}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}. O maior é \tfrac{7}{4} (linha 2), então não preciso trocar (o pivô mais forte já está em R_2).
Eliminar abaixo de a_{22}=-\tfrac{7}{4}:
m_{32}=\dfrac{-\tfrac{1}{4}}{-\tfrac{7}{4}}=\dfrac{1}{7}. Faço R_3\leftarrow R_3 - \tfrac{1}{7}R_2 e obtenho R_3=[0\;0\;-\tfrac{33}{7}\;-\tfrac{18}{7}\;|\;-\tfrac{33}{7}].
Agora, para prosseguir sem pivoteamento, o próximo pivô deveria ser a_{22} (entrada na linha 2, coluna 2). Mas a_{22}=0. Isso causa um problema: não posso dividir por zero para eliminar abaixo usando essa linha como pivô. Portanto, sem trocar linhas (ou seja, sem pivoteamento), o processo de eliminação fica impedido aqui — a eliminação direta falha porque o pivô é zero.
Conclusão: Não é possível completar a eliminação seguindo estritamente a ordem original das linhas (sem nenhuma troca) porque aparece um pivô nulo na segunda etapa. Para continuar é necessário trocar linhas (isto é, usar pivoteamento). Vou então resolver o sistema usando pivoteamento parcial.]
Etapa 2 (coluna 2): entre linhas 2…4, eu comparo os valores absolutos em coluna 2: \tfrac{4}{3}\approx1{,}333,\\ \tfrac{2}{3}\approx0{,}667,\\ \tfrac{14}{3}\approx4{,}667. O maior é \tfrac{14}{3} na linha 4; troco R_2\leftrightarrow R_4.
Etapa 3 (coluna 3): entre linhas 3 e 4, comparamos |-\tfrac{1}{7}|\approx0{,}143 e |\tfrac{9}{7}|\approx1{,}286. O maior está em R_4; então troco R_3\leftrightarrow R_4.
Sistema (I) sem pivoteamento: x_{1}=-1,\\ x_{2}=2,\\ x_{3}=3
Sistema (I) com pivoteamento parcial: x_{1}=-1,\\ x_{2}=2,\\ x_{3}=3
Sistema (II) sem pivoteamento: x_{1}=1,\\ x_{2}=2,\\ x_{3}=1,\\ x_{4}=0
Sistema (II) com pivoteamento parcial: x_{1}=1,\\ x_{2}=2,\\ x_{3}=1,\\ x_{4}=0
Sistema (III) sem pivoteamento: não é possível prosseguir (pivô a_{22}=0 na segunda etapa)
Sistema (III) com pivoteamento parcial: x_{1}=\dfrac{28}{5},\\ x_{2}=\dfrac{7}{10},\\ x_{3}=\dfrac{8}{5},\\ x_{4}=\dfrac{2}{5}