Ajuste os dados abaixo por uma hipérbole \varphi(x)=1 /\left(\alpha_{1}+\alpha_{2} x\right)
X -1 0 1
f(x) 3.1 0.9 2.9

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: ajustar os três pontos por uma hipérbole da forma \varphi(x)=\dfrac{1}{\alpha_{1}+\alpha_{2}x}, ou seja, encontrar os parâmetros \alpha_{1} e \alpha_{2} que melhor aproximam os dados pelo modelo acima.
  • Dados (pego da tabela do enunciado):
    • Para x=-1: f(x)=3,1.
    • Para x=0: f(x)=0,9.
    • Para x=1: f(x)=2,9.
Observação importante: não foi pedido um ajuste exato obrigatório (isso nem sempre é possível com 3 pontos e 2 parâmetros); então usaremos ajuste por mínimos quadrados para obter os melhores \alpha sob o critério de erro quadrático.

Passo 2

Ideia prática que vamos usar (explicação didática).
  • Se a lei verdadeira fosse \varphi(x)=\dfrac{1}{\alpha_{1}+\alpha_{2}x}, então tomando reciprocais obteríamos \frac{1}{\varphi(x)}=\alpha_{1}+\alpha_{2}x.
  • Como os valores observados f(x) deveriam aproximar \varphi(x), definimos os valores y_i=\frac{1}{f(x_i)}.Assim reduzimos o problema não-linear a um problema linear em \alpha_{1},\alpha_{2}: ajustar a reta y=\alpha_{1}+\alpha_{2}xaos pontos (x_i,y_i) por mínimos quadrados.
  • Raciocínio por trás: mínimos quadrados minimizam a soma dos quadrados dos erros \sum_i (y_i-(\alpha_1+\alpha_2 x_i))^2. Isso resulta nas equações normais que podem ser resolvidas de forma direta.

Passo 3

Calcular os y_i=1/f(x_i) a partir dos dados (peguei os f(x) da tabela).
  • Para x=-1: y_1=\dfrac{1}{3,1} \approx 0,3225806452.
  • Para x=0: y_2=\dfrac{1}{0,9} \approx 1,1111111111.
  • Para x=1: y_3=\dfrac{1}{2,9} \approx 0,3448275862.
Vou manter várias casas decimais para evitar perda de precisão nas contas seguintes.

Passo 4

Calcular médias e somatórios necessários para o ajuste linear (explicando o que são).
  • Definições úteis:
    • n é o número de pontos; aqui n=3.
    • \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i é a média dos x.
    • \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i é a média dos y.
    • A inclinação pelo método dos mínimos quadrados é \alpha_{2}=\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^{2}}.
    • O intercepto é \alpha_{1}=\bar{y}-\alpha_{2}\bar{x}.
  • Calcular \bar{x} e \bar{y}: \bar{x}=\frac{-1+0+1}{3}=0.
\bar{y}=\frac{0,3225806452+1,1111111111+0,3448275862}{3}\approx 0,5928397808.

Passo 5

Calcular \alpha_{2} usando as fórmulas (detalhando as somas).
  • Como \bar{x}=0, as fórmulas simplificam para \alpha_{2}=\frac{\sum_i x_i y_i}{\sum_i x_i^2}.
  • Calcular os somatórios (usando os y_i do Passo 3): \sum_i x_i y_i = (-1)\cdot 0,3225806452 + 0\cdot 1,1111111111 + 1\cdot 0,3448275862
\sum_i x_i y_i \approx -0,3225806452 + 0 + 0,3448275862 = 0,0222469410.
\sum_i x_i^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 2.
  • Portanto \alpha_{2} \approx \frac{0,0222469410}{2} \approx 0,0111234705.

Passo 6

Calcular \alpha_{1}.
  • Usando \alpha_{1}=\bar{y}-\alpha_{2}\bar{x} e \bar{x}=0, obtemos diretamente \alpha_{1}=\bar{y}\approx 0,5928397808.

Passo 7

Interpretação rápida e cálculo de verificação (opcional, para ver como o ajuste se comporta).
  • Os parâmetros encontrados são aproximadamente \alpha_{1}\approx 0,5928397808,\qquad \alpha_{2}\approx 0,0111234705.
  • Uma verificação rápida é calcular os valores ajustados \varphi(x_i)=1/(\alpha_{1}+\alpha_{2}x_i):
    • Para x=-1: denominador \approx 0,5928397808-0,0111234705=0,5817163103\Rightarrow \varphi(-1)\approx 1,7180.
    • Para x=0: denominador \approx 0,5928397808\Rightarrow \varphi(0)\approx 1,6860.
    • Para x=1: denominador \approx 0,6039632513\Rightarrow \varphi(1)\approx 1,6550.
  • Esses valores mostram que, após a linearização, o ajuste em y=1/f foi feito por mínimos quadrados; os valores ajustados \varphi(x_i) acima são os correspondentes no espaço original. O ajuste não reproduz exatamente os f(x_i) porque escolhemos minimizar o erro em 1/f (linearizado).

Resposta

\varphi(x)=\frac{1}{0,5928397808+0,0111234705\,x}

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