Ajuste os dados abaixo por uma hipérbole
-1
0
1
3.1
0.9
2.9
|
|
-1 | 0 | 1 |
|
|
3.1 | 0.9 | 2.9 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede: ajustar os três pontos por uma hipérbole da forma
, ou seja, encontrar os parâmetros e que melhor aproximam os dados pelo modelo acima. - Dados (pego da tabela do enunciado):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
Observação importante: não foi pedido um ajuste exato obrigatório (isso nem sempre é possível com 3 pontos e 2 parâmetros); então usaremos ajuste por mínimos quadrados para obter os melhores
sob o critério de erro quadrático.
Passo 2
Ideia prática que vamos usar (explicação didática).
- Se a lei verdadeira fosse
, então tomando reciprocais obteríamos - Como os valores observados
deveriam aproximar , definimos os valores Assim reduzimos o problema não-linear a um problema linear em : ajustar a reta aos pontos por mínimos quadrados. - Raciocínio por trás: mínimos quadrados minimizam a soma dos quadrados dos erros
. Isso resulta nas equações normais que podem ser resolvidas de forma direta.
Passo 3
Calcular os
a partir dos dados (peguei os
da tabela).
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Vou manter várias casas decimais para evitar perda de precisão nas contas seguintes.
Passo 4
Calcular médias e somatórios necessários para o ajuste linear (explicando o que são).
- Definições úteis:
-
é o número de pontos; aqui . -
é a média dos . -
é a média dos . - A inclinação pelo método dos mínimos quadrados é
- O intercepto é
-
- Calcular
e :
Passo 5
Calcular
usando as fórmulas (detalhando as somas).
- Como
, as fórmulas simplificam para - Calcular os somatórios (usando os
do Passo 3):
- Portanto
Passo 6
Calcular
.
- Usando
e , obtemos diretamente
Passo 7
Interpretação rápida e cálculo de verificação (opcional, para ver como o ajuste se comporta).
- Os parâmetros encontrados são aproximadamente
- Uma verificação rápida é calcular os valores ajustados
: - Para
: denominador . - Para
: denominador . - Para
: denominador .
- Para
- Esses valores mostram que, após a linearização, o ajuste em
foi feito por mínimos quadrados; os valores ajustados acima são os correspondentes no espaço original. O ajuste não reproduz exatamente os porque escolhemos minimizar o erro em (linearizado).