Alas Exercicios de 9 a 12, ache a série de potências que representa a integral dada e determine o seu raio de convergência.
, onde
Passo 1
O enunciado pede a série de potências para
onde
Vamos usar expansão em série de potências de
e integrar termo a termo.
Passo 2
Sabemos que, para
, vale
Essa é uma série de potências com raio de convergência
.
Passo 3
Dividindo a série por
obtemos:
válido para
mas que, pelo termo
, dá
, consistente com a definição.
Passo 4
Agora integramos termo a termo de 0 a
:
Passo 5
Para o raio de convergência de
usamos o mesmo de
. Pelo teste da razão na série original de
temos
, e a integração termo a termo não altera esse raio.
Resposta
A série de potências é
com raio de convergência
.