Alas Exercicios de 9 a 12, ache a série de potências que representa a integral dada e determine o seu raio de convergência.
integral0^x g(t) d t, onde g(t)=lltg^-1 tt & se t neq 0 1 & se t=0

Passo 1

O enunciado pede a série de potências para
F(x)=integral0^xg(t),dt,
onde
g(t)= arctan tt,&tneq0,1,&t=0
Vamos usar expansão em série de potências de arctan t e integrar termo a termo.

Passo 2

Sabemos que, para |t|<1, vale
arctan t=sumn=0^infty(-1)^nt^2n+12n+1
Essa é uma série de potências com raio de convergência R=1.

Passo 3

Dividindo a série por t obtemos:
g(t)=arctan tt=sumn=0^infty(-1)^nt^2n2n+1,
válido para tneq0 mas que, pelo termo n=0, dá g(0)=1, consistente com a definição.

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 a x:
F(x)=integral0^xg(t),dt=sumn=0^infty(-1)^n12n+1integral0^xt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)^2

Passo 5

Para o raio de convergência de F(x) usamos o mesmo de g(t). Pelo teste da razão na série original de arctan t temos R=1, e a integração termo a termo não altera esse raio.

Resposta

A série de potências é integral0^xg(t),dt=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)^2,com raio de convergência R=1.

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