y^(4)-y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de quarta ordem:
y^(4) - y''' - y'' + y' = 0
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação característica, que vai nos dar a forma geral da solução.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo y^(n) por r^n. Assim, a equação fica:
r^4 - r^3 - r^2 + r = 0

Passo 3

Agora, vamos fatorar essa equação para encontrar os valores de r. Podemos começar fatorando r:
r(r^3 - r^2 - r + 1) = 0
Isso nos dá uma raiz imediata: r = 0.

Passo 4

Precisamos agora resolver a parte dentro dos parênteses:
r^3 - r^2 - r + 1 = 0
Vamos agrupar os termos:
(r^3 - r^2) + (-r + 1) = r^2(r - 1) -1(r - 1) = (r^2 - 1)(r - 1)

Passo 5

Continuando a fatoração, temos:
(r - 1)(r^2 - 1) = (r - 1)(r - 1)(r + 1) = (r - 1)^2(r + 1)
Então, as raízes dessa parte são: r = 1 (com multiplicidade 2) e r = -1.

Passo 6

Juntando todas as raízes encontradas, temos:
r = 0, r = 1 (dupla), r = -1

Passo 7

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz corresponde a uma parte da solução:
  • Para r = 0: C1.
  • Para r = 1 (dupla): C2 e^x + C3 x e^x.
  • Para r = -1: C4 e^-x.

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = C1 + C2 e^x + C3 x e^x + C4 e^-x,
onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias.

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