.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de quarta ordem:
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação característica, que vai nos dar a forma geral da solução.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
. Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos fatorar essa equação para encontrar os valores de
. Podemos começar fatorando
:
Isso nos dá uma raiz imediata:
.
Passo 4
Precisamos agora resolver a parte dentro dos parênteses:
Vamos agrupar os termos:
Passo 5
Continuando a fatoração, temos:
Então, as raízes dessa parte são:
(com multiplicidade 2) e
.
Passo 6
Juntando todas as raízes encontradas, temos:
Passo 7
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz corresponde a uma parte da solução:
- Para
: . - Para
(dupla): . - Para
: .
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
,
,
e
são constantes arbitrárias.