Alas Exercicios de 9 a 12, ache a série de potências que representa a integral dada e determine o seu raio de convergência.
integral0^x h(t) d t, onde h(t)=llsenh tt & se t neq 0 1 & set =0

Passo 1

Nesse exercício a gente quer achar a série de potências de integral0^x h(t),dt, onde h(t)=sinh t/t (com h(0)=1). O conteúdo é séries de potências e integração termo a termo, e vamos precisar do desenvolvimento em série de sinh t.

Passo 2

Lembrando que sinh t tem a série de Taylor
sinh t = sumn=0^infty t^2n+1(2n+1)!
Dividindo por t para tneq0, a gente obtém
sinh tt = sumn=0^infty t^2n(2n+1)!

Passo 3

Como séries de potências podem ser integradas termo a termo, fazemos:
integral0^x sinh tt,dt = integral0^x sumn=0^infty t^2n(2n+1)!,dt = sumn=0^infty 1(2n+1)! integral0^x t^2n,dt = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)(2n+1)!

Passo 4

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral an=x^2n+1(2n+1)(2n+1)!. Como o fatorial cresce muito mais rápido que a potência, o limite da razão dá zero para todo x. Logo, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de potências da integral é
sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)(2n+1)!
e o raio de convergência é R=infty.

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