Alas Exercicios de 9 a 12, ache a série de potências que representa a integral dada e determine o seu raio de convergência.
, onde
Passo 1
Nesse exercício a gente quer achar a série de potências de
, onde
(com
). O conteúdo é séries de potências e integração termo a termo, e vamos precisar do desenvolvimento em série de
.
Passo 2
Lembrando que
tem a série de Taylor
Dividindo por
para
, a gente obtém
Passo 3
Como séries de potências podem ser integradas termo a termo, fazemos:
Passo 4
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral
. Como o fatorial cresce muito mais rápido que a potência, o limite da razão dá zero para todo
. Logo, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de potências da integral é
e o raio de convergência é
.