Álcool etílico ( \gamma=7750 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{v}=1,52.10^{\wedge}-6 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) escoa `a razão de 1,25 \mathrm{I} / \mathrm{s}, através de um tubo de aço inoxidavel (rugosidade equivalente de \left.1,52.10^{\wedge}-6 \mathrm{~m}\right) de 1 / 2^{\prime \prime} de diâmetro e 6,1 \mathrm{~m} de comprimento. Determinar a perda de carga e o consumo de potência.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que está listado abaixo.
Dados (peguei todos do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Peso específico: }\gamma=7750\\ \mathrm{N/m^{3}}\\\ &\text{Viscosidade cinemática: } \nu=1,52\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}\\\ &\text{Vazão volumétrica: } Q=1,25\\ \mathrm{L/s}=0,00125\\ \mathrm{m^{3}/s}\\\ &\text{Rugosidade absoluta: } \varepsilon=1,52\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Diâmetro do tubo: } D=\tfrac{1}{2}\\ \text{polegada} = 0,0127\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Comprimento do tubo: } L=6,10\\ \mathrm{m} \end{aligned}íáãéâ
O que é pedido:
  • Determinar a perda de carga (ou perda de carga por atrito ao longo do trecho).
  • Determinar o consumo de potência necessário para vencer essa perda (potência hidráulica).

Passo 2

Primeiro faço conversões e calculo propriedades úteis. Como foi dado \gamma (peso específico) podemos obter a massa específica \rho usando \rho=\gamma/g, com g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Fórmula e significado:
\rho=\frac{\gamma}{g},
onde \rho é a massa específica em \mathrm{kg/m^{3}}, \gamma é o peso específico em \mathrm{N/m^{3}} e g a gravidade.
Cálculo:
\rho=\frac{7750}{9,81}\approx 790,62\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Também calculo a área da seção transversal do tubo e a velocidade média V:
A=\frac{\pi D^{2}}{4},\qquad V=\frac{Q}{A}.
Cálculo da área:
A=\frac{\pi\,(0,0127)^{2}}{4}\approx 0,00012673\\ \mathrm{m^{2}}.
Cálculo da velocidade:
V=\frac{0,00125}{0,00012673}\approx 9,862\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: A é a área do círculo de diâmetro D; V é a velocidade média necessária para transportar a vazão Q por essa área.

Passo 3

Determino o número de Reynolds para classificar o escoamento (laminar/turbulento):
Fórmula:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde \mathrm{Re} é adimensional, V é a velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática.
Cálculo:
\mathrm{Re}=\frac{9,862\cdot 0,0127}{1,52\cdot 10^{-6}}\approx 8,24\cdot 10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 8,2\cdot 10^{4} é muito maior que 4000, logo o escoamento é turbulento. Isso determina que a perda de carga por atrito deve ser calculada com uma expressão para escoamento turbulento (fator de atrito de Darcy dependente de rugosidade e Reynolds).

Passo 4

Escolho a fórmula para obter o fator de atrito f. Para escoamento turbulento em tubos rugosos usamos a equação de Colebrook (implícita). Para ter um cálculo direto e rápido, uso a aproximação explícita de Swamee–Jain, que é precisa para engenharia:
Fórmula de Swamee–Jain:
f=\frac{0,25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), \varepsilon é a rugosidade absoluta, D o diâmetro e \mathrm{Re} o número de Reynolds.
Justificativa: a Colebrook é a referência, mas exige solução iterativa; a Swamee–Jain dá um valor explícito muito próximo e é adequada para cálculos de prova/engenharia rápida.

Passo 5

Substituo os valores na fórmula de Swamee–Jain e calculemos passo a passo.
Calculo da primeira parcela:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}52\cdot 10^{-6}}{3{,}7\cdot 0,0127}\approx 3{,}236\cdot 10^{-5}.
Calculo da segunda parcela:
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(8{,}24\cdot 10^{4})^{0{,}9}}\approx 2{,}187\cdot 10^{-4}.
Soma interna:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 0{,}00003236+0{,}0002187=0{,}00025106.
Agora o logaritmo e f:
\log_{10}(0{,}00025106)\approx -3{,}600,
f=\frac{0{,}25}{(-3{,}600)^{2}}\approx 0{,}01929.
Interpretação: f\approx 0{,}0193 é um valor típico para escoamento turbulento em tubos relativamente lisos/pequena rugosidade relativa.

Passo 6

Com f calculado, aplico a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito h_{f} (em metros de coluna de fluido):
Fórmula:
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde h_{f} é a perda de carga (m), L comprimento do tubo, D diâmetro, V velocidade média e g gravidade.
Cálculo passo a passo:
\frac{L}{D}=\frac{6{,}10}{0{,}0127}\approx 480{,}315,
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(9{,}862)^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx \frac{97{,}26}{19{,}62}\approx 4{,}958\\ \mathrm{m}.
Agora:
h_{f}=0{,}01929\cdot 480{,}315\cdot 4{,}958\approx 45{,}93\\ \mathrm{m}.
Interpretação: isso significa que ao longo dos 6{,}10\\ \mathrm{m} de tubo há uma perda de carga equivalente a 45{,}93\\ \mathrm{m} de coluna de álcool (ou água — o h em metros é um parâmetro hidráulico independente da densidade para a equação com g).

Passo 7

Transformo a perda de carga em perda de pressão \Delta p (em Pa), usando a relação entre pressão e carga hidráulica:
Fórmula:
\Delta p=\gamma\,h_{f},
onde \gamma é o peso específico ( \mathrm{N/m^{3}}).
Cálculo:
\Delta p=7750\cdot 45{,}93\approx 355{,}818\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 3,56\cdot 10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
Observação: também poderíamos usar \Delta p=\rho g h_{f} (mesma coisa, já que \gamma=\rho g).

Passo 8

Determino a potência hidráulica necessária P para vencer essa perda de carga: é a potência dissipada pelo atrito, dada por pressão vezes vazão volumétrica:
Fórmula:
P=\Delta p\cdot Q=\gamma\,h_{f}\,Q.
Cálculo:
P=355{,}818\\ \mathrm{Pa}\cdot 0{,}00125\\ \mathrm{m^{3}/s}\approx 444{,}77\\ \mathrm{W}.
Arredondando para dígitos significativos típicos: P\approx 445\\ \mathrm{W} (ou 0{,}445\\ \mathrm{kW}).

Resposta

Perda de carga: 45{,}9\\ \mathrm{m}
Potência consumida: 445\\ \mathrm{W}

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