alcule
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}.
Aqui temos uma forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty}, então vamos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar numerador e denominador separadamente para resolver esse tipo de limite.

Passo 2

Aplicando a Regra de L’Hôpital, escrevemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x^{2})}.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Logo o limite vira
\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{1}{x}}{2x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 4

Como 2x^{2}\to\infty quando x\to\infty, temos
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}}=0.

Resposta

0

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