Resolver as seguintes integrais:
\int \operatorname{sen}^{3} 2 \theta \cos ^{4} 2 \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{3}(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta)\,d\theta.
O conteúdo envolve técnicas de integração de funções trigonométricas usando identidades pitagóricas e substituição.

Passo 2

Reescrevemos \sin^{3}(2\theta) como \sin^{2}(2\theta)\,\sin(2\theta) e usamos \sin^{2}(2\theta)=1-\cos^{2}(2\theta). Assim,
\sin^{3}(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta) =(1-\cos^{2}(2\theta))\,\sin(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta).

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos(2\theta), \quad du=-2\,\sin(2\theta)\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin(2\theta)\,d\theta=-\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 4

Em função de u, a integral vira
\int(1-u^{2})\,u^{4}\,\sin(2\theta)\,d\theta =-\tfrac{1}{2}\int(u^{4}-u^{6})\,du.

Passo 5

Integramos o polinômio em u:
-\tfrac{1}{2}\int(u^{4}-u^{6})\,du =-\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{u^{5}}{5}-\tfrac{u^{7}}{7}\Bigr)+C =-\tfrac{1}{10}u^{5}+\tfrac{1}{14}u^{7}+C.

Passo 6

Voltando a u=\cos(2\theta), obtemos a primitiva final:
-\tfrac{1}{10}\cos^{5}(2\theta) +\tfrac{1}{14}\cos^{7}(2\theta)+C.

Resposta

-\frac{1}{10}\cos^{5}(2\theta) +\frac{1}{14}\cos^{7}(2\theta)+C.

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