alcule
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2025}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
\lim_{x \to 1} \frac{x^{2025}-1}{x-1}.
O conteúdo envolvido é o caso clássico de “diferença de potências” gerando uma forma \tfrac{0}{0}, que podemos resolver por fatoração ou reconhecendo a derivada de f(x)=x^{2025} em x=1.

Passo 2

Usando a fatoração de diferença de potências, para x\neq1 vale
\frac{x^{2025}-1}{x-1} =1 + x + x^2 + \cdots + x^{2024}.

Passo 3

Ao fazermos x \to 1, cada termo x^k tende a 1. Como há 2025 termos na soma, obtemos
\lim_{x \to 1}\bigl(1 + x + x^2 + \cdots + x^{2024}\bigr) =1+1+\cdots+1=2025.

Resposta

2025

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