Use primitivação para achar a posição s(t) de uma partícula que possui aceleração dada por a(t) com s(0)=v(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede a posição s(t) de uma partícula cuja aceleração é a(t), sabendo que
s(0)=1 \quad\text{e}\quad v(0)=1.
Conteúdo: usar primitivação (integração) duas vezes — primeiro para obter a velocidade v(t) a partir de a(t), depois para obter s(t) a partir de v(t).

Passo 2

Integramos a aceleração para obter a velocidade. Seja C_1 a constante de integração, então
v(t)=\int a(t)\,dt + C_1.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial v(0)=1. Avaliando em t=0
v(0)=\int_{t=0}^0 a(t)\,dt + C_1 = 0 + C_1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1=1.
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v(t)=1+\int_{0}^{t}a(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter s(t). Seja C_2 a nova constante de integração:
s(t)=\int v(t)\,dt + C_2 =\int\Bigl(1+\int_{0}^{t}a(u)\,du\Bigr)dt + C_2.

Passo 5

Usamos s(0)=1. Avaliando em t=0:
s(0)=\int_{0}^{0}\Bigl(1+\int_{0}^{t}a(u)\,du\Bigr)dt + C_2 = 0 + C_2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_2=1.
Substituindo em s(t) obtemos a forma final:
s(t) =1 + \int_{0}^{t}\Bigl(1+\int_{0}^{u}a(\tau)\,d\tau\Bigr)du.
Podemos também trocar a ordem de integração (identidade de Fubini) para escrever
s(t) =1 + t + \int_{0}^{t}(t-\tau)\,a(\tau)\,d\tau.

Resposta

s(t) =1 + \int_{0}^{t}\Bigl(1+\int_{0}^{u}a(\tau)\,d\tau\Bigr)du \;=\; 1 + t + \int_{0}^{t}(t-\tau)\,a(\tau)\,d\tau.

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