(ALE 2,0 PONTOS) Determine o raio e o intervalo de convergência da série de \operatorname{cias} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}.
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}. O conteúdo principal é séries de potências, e para resolver vamos usar o teste da razão para determinar o raio e depois analisar os extremos para achar o intervalo completo.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão a a_n = \frac{x^n}{n}. Calculamos
A série converge se esse limite for menor que 1, isto é, se |x|<1. Logo, o raio de convergência é R=1.
Passo 3
No interior do círculo de convergência, isto é, para |x|<1, a série converge absolutamente. Se |x|>1, o termo geral não tende a zero e a série diverge.
Passo 4
No extremo x=1, a série fica \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n},
que é a série harmônica, a qual é conhecida por divergir.
Passo 5
No extremo x=-1, a série torna-se \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}.
É uma série alternada cujos termos em módulo 1/n são decrescentes e tendem a zero, portanto converge pelo critério de Leibniz.
Passo 6
Reunindo tudo, a convergência ocorre para -1 \le x < 1.
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1,1).