(ALE 2,0 PONTOS) Determine o raio e o intervalo de convergência da série de \operatorname{cias} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}.

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}. O conteúdo principal é séries de potências, e para resolver vamos usar o teste da razão para determinar o raio e depois analisar os extremos para achar o intervalo completo.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a a_n = \frac{x^n}{n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right| = |x|\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = |x|.
A série converge se esse limite for menor que 1, isto é, se |x|<1. Logo, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

No interior do círculo de convergência, isto é, para |x|<1, a série converge absolutamente. Se |x|>1, o termo geral não tende a zero e a série diverge.

Passo 4

No extremo x=1, a série fica
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n},
que é a série harmônica, a qual é conhecida por divergir.

Passo 5

No extremo x=-1, a série torna-se
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}.
É uma série alternada cujos termos em módulo 1/n são decrescentes e tendem a zero, portanto converge pelo critério de Leibniz.

Passo 6

Reunindo tudo, a convergência ocorre para -1 \le x < 1.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1,1).

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