Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x>0, y \leq 1 \mathrm{e} 1 / x \leq y \leq 4 / x^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar em torno do eixo Ox a região
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0,\\ y\le1,\\ \tfrac1x\le y\le\tfrac{4}{x^2}\}.
O conteúdo é o método dos discos anulares (washers): para cada x fixo, a seção transversal perpendicular a Ox é um anel de raio externo igual ao valor máximo de y e raio interno igual ao valor mínimo de y. Vamos achar primeiro para quais x a região existe e seus limites em y.

Passo 2

Precisamos resolver simultaneamente
\tfrac1x\le \tfrac{4}{x^2} \quad\text{e}\quad \tfrac1x\le1,
além de x>0.
  1. \tfrac1x\le\tfrac{4}{x^2} x\le4.
  2. \tfrac1x\le1 x\ge1.
    Logo, a região existe só em 1\le x\le4. Dentro desse intervalo temos dois casos:
  • Para 1\le x\le2, verifica-se \tfrac{4}{x^2}\ge1, então y vai de \tfrac1x até 1.
  • Para 2\le x\le4, \tfrac{4}{x^2}\le1, então y vai de \tfrac1x até \tfrac{4}{x^2}.

Passo 3

O volume é
V =\int_{x=1}^{2}\pi\bigl(1^2-(\tfrac1x)^2\bigr)\,dx +\int_{x=2}^{4}\pi\Bigl(\bigl(\tfrac{4}{x^2}\bigr)^2-(\tfrac1x)^2\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calcule o primeiro integral:
\int_{1}^{2}\bigl(1-\tfrac1{x^2}\bigr)\,dx =\bigl[x+\tfrac1x\bigr]_{1}^{2} =\Bigl(2+\tfrac12\Bigr)-\bigl(1+1\bigr) =\tfrac12.
Multiplicando por \pi \pi/2.

Passo 5

Calcule o segundo integral:
\int_{2}^{4}\Bigl(\tfrac{16}{x^4}-\tfrac1{x^2}\Bigr)\,dx =\Bigl[-\tfrac{16}{3x^3}+\tfrac1x\Bigr]_{2}^{4} =\Bigl(-\tfrac{16}{192}+\tfrac14\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{16}{24}+\tfrac12\Bigr) =\tfrac{1}{3}.
Multiplicando por \pi \pi/3.

Passo 6

Somando as duas partes do volume temos
V =\pi\!\bigl(\tfrac12\bigr)+\pi\!\bigl(\tfrac13\bigr) =\tfrac{5\pi}{6}.

Resposta

V=\frac{5\pi}{6}.

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