Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar em torno do eixo
a região
O conteúdo é o método dos discos anulares (washers): para cada
fixo, a seção transversal perpendicular a
é um anel de raio externo igual ao valor máximo de
e raio interno igual ao valor mínimo de
. Vamos achar primeiro para quais
a região existe e seus limites em
.
Passo 2
Precisamos resolver simultaneamente
além de
.
-
dá . -
dá .
Logo, a região existe só em. Dentro desse intervalo temos dois casos:
- Para
, verifica-se , então vai de até . - Para
, , então vai de até .
Passo 3
O volume é
Passo 4
Calcule o primeiro integral:
Multiplicando por
dá
.
Passo 5
Calcule o segundo integral:
Multiplicando por
dá
.
Passo 6
Somando as duas partes do volume temos