(VALE 2,0 PONTOS) Determine se a sequência \left\{\frac{n+1}{2 n-1}\right\} é monotônica e se é limitada. Calcule o limite, caso exista.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = \frac{n+1}{2n-1},
para n\ge1.
Queremos estudar (1) a monotonicidade de \{a_n\}, (2) se ela é limitada e (3) calcular \lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Para ver se \{a_n\} é crescente ou decrescente, comparamos a_{n+1} com a_n.
a_{n+1}-a_n =\frac{n+2}{2n+1}-\frac{n+1}{2n-1} =\frac{(n+2)(2n-1)-(n+1)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} =\frac{-3}{4n^2-1}.
Como o denominador 4n^2-1 é sempre positivo para n\ge1, segue
a_{n+1}-a_n<0,
logo \{a_n\} é estritamente decrescente.

Passo 3

Para limitação, note que para todo n\ge1 temos n+1>0 e 2n-1>0, logo a_n>0.
Além disso a_1=2 é o maior valor da sequência, e por ser decrescente ela fica sempre abaixo de 2.
Podemos também mostrar que \frac12 é uma cota inferior:
a_n-\tfrac12 =\frac{n+1}{2n-1}-\frac12 =\frac{2n+2-(2n-1)}{2(2n-1)} =\frac{3}{2(2n-1)}>0.
Portanto
\frac12 < a_n \le 2,
e \{a_n\} é limitada.

Passo 4

Para o limite basta dividir numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac1n}{2-\tfrac1n} =\frac12.

Resposta

A sequência \displaystyle a_n=\frac{n+1}{2n-1} é estritamente decrescente, limitada em
\tfrac12< a_n\le2
e converge para
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac12.

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