(VALE 2,0 PONTOS) Determine se a sequência
é monotônica e se é limitada. Calcule o limite, caso exista.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
.
Queremos estudar (1) a monotonicidade de , (2) se ela é limitada e (3) calcular
.
Queremos estudar (1) a monotonicidade de
Passo 2
Para ver se
é crescente ou decrescente, comparamos
com
.
Como o denominador
é sempre positivo para
, segue
logo
é estritamente decrescente.
Passo 3
Para limitação, note que para todo
temos
e
, logo
.
Além disso é o maior valor da sequência, e por ser decrescente ela fica sempre abaixo de
.
Podemos também mostrar que é uma cota inferior:
Além disso
Podemos também mostrar que
Portanto
e
é limitada.
Passo 4
Para o limite basta dividir numerador e denominador por
:
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente, limitada em
e converge para
e converge para