(VALE 2,0 PONTOS) Determine a série de Maclaurin e o intervalo de convergência da função f(x)=\operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{sen}x e o intervalo (ou raio) de convergência. Vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor em torno de 0:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n.

Passo 2

Para montar a série, precisamos dos n-ésimas derivadas de \operatorname{sen}x e seus valores em x=0. As primeiras derivadas são:
\begin{aligned} f(x)&=\operatorname{sen}x,\\\ f'(x)&=\cos x,\\\ f''(x)&=-\operatorname{sen}x,\\\ f'''(x)&=-\cos x,\\\ f^{(4)}(x)&=\operatorname{sen}x, \end{aligned}
e aí o ciclo se repete a cada quatro derivadas.

Passo 3

Avaliando em x=0, vemos que
f^{(2n)}(0)=0,\quad f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n
(pois \operatorname{sen}0=0, \cos0=1, -\operatorname{sen}0=0, -\cos0=-1, etc.). Logo, só aparecem potências ímpares de x. Substituindo na fórmula de Taylor:
\operatorname{sen}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}.

Passo 4

Para o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em termos do coeficiente geral
a_n=\begin{cases} \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!},&n=2k+1,\\\\ 0,&n\text{ par.} \end{cases}
Fazendo
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| = \lim_{k\to\infty}\frac{1/(2k+3)!}{1/(2k+1)!} = \lim_{k\to\infty}\frac{1}{(2k+2)(2k+3)}=0<1,
logo o raio é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin é
\operatorname{sen}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,x^{2n+1},
e a série converge para todo x\in\mathbb{R}, isto é, o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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