Além da equação da continuidade, a equação de Bernoulli também é aplicada em casos de escoamento de fluidos em tubos fechados. Para explicar o comportamento de um fluido nessa condição, a equação de Bernoulli se vale das diferenças de pressão aferidas em pontos específicos da tubulação de escoamento, além de conhecer também a diferença entre as alturas dos pontos onde săo feitas as medições.

Passo 1

Temos um fluido incompressível escoando de forma estacionária num tubo fechado. Já usamos a equação da continuidade para relacionar áreas e velocidades em duas seções. Agora, para relacionar as pressões medidas em dois pontos e a diferença de altura entre eles, vamos usar a equação de Bernoulli, que incorpora as quantidades de energia por unidade de volume: energia de pressão, energia cinética e energia potencial gravitacional.

Passo 2

A forma geral da equação de Bernoulli, válida ao longo de uma mesma linha de corrente em escoamento estacionário, sem atrito e sem troca de calor, é
p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}.
Aqui, p é a pressão, \rho a massa específica do fluido, v a velocidade e z a cota (altura).

Passo 3

Escolhendo dois pontos distintos no tubo, 1 e 2, aplicamos Bernoulli entre eles:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2.

Passo 4

Isolando a diferença de pressão \Delta p = p_1 - p_2 e a diferença de altura \Delta z = z_2 - z_1, obtemos
p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr) \;+\;\rho g\,(z_2 - z_1) \quad\Longrightarrow\quad \Delta p = \tfrac{1}{2}\rho\,\Delta(v^2) \;+\;\rho g\,\Delta z.
Se o tubo tiver seção constante, então v_1 = v_2 e o termo cinético some, levando à lei de Stevin:
p_1 - p_2 = \rho g\,(z_2 - z_1).

Resposta

A equação de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2 num tubo fechado é
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2,
e pode ser rearranjada para relacionar a diferença de pressão \Delta p = p_1 - p_2 com a diferença de velocidades e de cotas:
\Delta p = \tfrac{1}{2}\rho\,(v_2^2 - v_1^2) \;+\;\rho g\,(z_2 - z_1).
Quando v_1=v_2, obtém-se simplesmente
\Delta p = \rho g\,\Delta z.

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