Tópico 11: Osciladores e o Movimento Harmônico Simples

  1. No movimento harmônico simples, são definidas algumas grandezas físicas, como amplitude, frequência e período que caracterizam as oscilações. A grandeza que descreve o deslocamento máximo do objeto a partir da sua posição de equilibrio é chamada de:
    A. frequência.
    B. período.
    C. amplitude.
    D. constante de fase.
    E. frequência angular.
  2. No estudo do MHS, é importante reconhecer e entender as equações que descrevem o movimento. Considere um corpo que apresenta oscilação em função do tempo descrita pela equação x(t)=7,00 \cos (2 \pi t+0,75). Determine a velocidade e a aceleração desse corpo como função do tempo e os valores da posição, da velocidade e da aceleração para o tempo t=0.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
  1. Identificar a grandeza física que representa o deslocamento máximo em um movimento harmônico simples (MHS).
  2. Para um corpo com
x(t)=7{,}00\cos\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr)
determinar as expressões de velocidade v(t) e aceleração a(t), e calcular x(0), v(0) e a(0).

Passo 2

Para a parte conceitual, o MHS é caracterizado por três grandezas principais: amplitude, frequência (ou período) e fase. A amplitude é justamente o valor máximo do deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio. Logo, a resposta é a alternativa C. amplitude.

Passo 3

Para achar a velocidade definimos
\omega = 2\pi,\quad A=7{,}00,\quad \varphi=0{,}75.
Em MHS,
\;x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\quad\Longrightarrow\quad v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\,\omega\,\sin(\omega t+\varphi).
Substituindo:
\boxed{v(t)=-7{,}00\;\bigl(2\pi\bigr)\;\sin\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr)=-14\pi\sin\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr)\quad(\text{m/s}).}

Passo 4

A aceleração é a derivada de v(t):
\;a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\,\omega^2\cos(\omega t+\varphi).
Substituindo \omega=2\pi e A=7{,}00:
\boxed{a(t)=-7{,}00\;(2\pi)^2\cos\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr)=-28\pi^2\cos\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr)\quad(\text{m/s}^2).}

Passo 5

Agora avaliamos em t=0:
\begin{aligned} x(0)&=7{,}00\cos(0{,}75)\approx7{,}00\times0{,}7317\approx5{,}12\\ (\text{m}),\\\ v(0)&=-14\pi\sin(0{,}75)\approx-14\pi\times0{,}6816\approx-29{,}97\\ (\text{m/s}),\\\ a(0)&=-28\pi^2\cos(0{,}75)\approx-28\pi^2\times0{,}7317\approx-202{,}2\\ (\text{m/s}^2). \end{aligned}

Resposta

  1. C. amplitude
  2. v(t)=-14\pi\sin\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr) m/s a(t)=-28\pi^2\cos\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr) m/ s^{2} x(0)\approx5{,}12 m, v(0)\approx-29{,}97 m/s, a(0)\approx-202{,}2 m/ s^{2}

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