Usando as equações de Maxwell na forma diferencial, problema anterior, Mostrar que: a) Existe um potencial vetor
de forma que
e um potencial escalar
para o qual
b) Se
é substituído por
, mostrar que
deve ser substituído por
para que
permaneça inalterada. c) Mostrar que num meio linear isotrópico homogêneo no qual
são constantes e
, o potencial escalar
e o potencial vetor
satisfazem
e
. d) Mostre que impondo a condição de Lorentz para os potenciais
e
, os potenciais satisfazem as equações de onda não homogêneas
e
.
Passo 1
Vamos primeiro listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei todas as informações do enunciado.
-
Dados (equações de Maxwell na forma diferencial, num meio linear isotrópico homogêneo quando for o caso):
-
é o campo elétrico. -
é o campo magnético. -
é a densidade de carga. -
é a densidade de corrente. -
é a permissividade do meio. -
é a permeabilidade do meio. - No item (c) é dito que
(condutividade nula).
-
-
As equações de Maxwell em forma diferencial, que vou usar desde o começo, são:com as relações constitutivas para um meio linear isotrópico homogêneo (quando aplicável):
-
O enunciado pede:
(a) Mostrar existência de um potencial vetortal que e de um potencial escalar tal que .
(b) Mostrar que a transformação de calibreexige para deixar invariável.
(c) Num meio comconstantes e , deduzir as equações diferenciais para e :
(d) Mostrar que, impondo a condição de Lorentz (gauge de Lorenz)
os potenciais satisfazem as equações de onda não-homogêneas
Passo 2
(a) Mostrar que existe
tal que
.
-
Intuição e propriedade vetorial usada: a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero, isto é,para qualquer campo suave
. A recíproca (se então existe com ) é garantida por resultados de análise vetorial (por exemplo o teorema de Helmholtz ou teoremas de potencial) desde que o domínio seja simplesmente conectado e os campos sejam suficientemente regulares (condição física usual em eletrodinâmica). -
Aplicação: Maxwell dá
. Como para qualquer , existe um campo tal que Comentário prático: fisicamente escolhe-sede forma que o comportamento no infinito (por exemplo quando ) torne a solução única até uma função (calibre).
Passo 3
(a) Mostrar forma do campo elétrico
em termos dos potenciais.
-
Usar a equação de Faraday:
. -
Substituir
(do passo anterior): onde se trocou ordem de derivação temporal e operador rotacional porque supomos regularidade. -
Reorganizando:Isso diz que o campo
tem rotacional nulo; campos com rotacional zero são gradientes de escalares (campos irrotacionais). Logo existe um escalar tal que onde o sinal negativo é escolha de convenção (útil para ficar com as fórmulas tradicionais). Portanto obtemos a expressão desejada:- Explicação didática: a ideia é que Faraday liga mudança temporal de
ao rotacional de . Como vem de um rotacional de , o lado direito é um rotacional temporal; subtraindo esse termo do sobra um campo com rotacional zero, que é um gradiente escalar.
- Explicação didática: a ideia é que Faraday liga mudança temporal de
Passo 4
(b) Verificar a transformação de calibre e invariância de
e
.
-
Definir uma função escalar arbitrária suave
e fazer a substituição: - Porque isso não muda
? Calcule: Mas , então Portanto é inalterado pela adição de ao potencial vetor.
- Porque isso não muda
-
Agora verificar o que é necessário acontecer com
para que seja invariante. Escrevemos a nova expressão para usando e um (ainda a determinar): Expandindo:Para ter, precisamos que Isolando e usando propriedades de: Isso implica (até uma constante adicionada que pode depender de tempo mas usualmente absorvida) queConclusão: a transformação de calibredeixae inalterados. Isso é o chamado “calibre” das equações eletromagnéticas — liberdade que permite escolher para simplificar as equações.
Passo 5
(c) Derivar a equação para o potencial vetor
em termos de
e
.
-
Começar da lei de Ampère-Maxwell (forma diferencial) com
e , e lembrando que (não há corrente de condução incluída separadamente): Multiplicando por: -
Substituir
: -
Usar a identidade vetorial fundamental (que vale para campos suficientemente suaves):onde
é o laplaciano aplicado componente a componente (operador de Laplace). -
Substituir a expressão de
em termos dos potenciais (do Passo 3): Então -
Agora, juntando tudo:
-
Reorganizar para agrupar termos envolvendo
e extrair o termo gradiente: Multiplicando pore rearranjando: Isso é exatamente a equação do enunciado para.
Passo 6
(c) Derivar a equação para o potencial escalar
.
-
Usar a lei de Gauss para o campo elétrico no meio linear:Com
constante: -
Substituir
: Expandindo:Reorganizando para isolar o laplaciano de: Essa é a equação escalar do enunciado.
Passo 7
Resumo do item (c) e comentário didático sobre as duas equações encontradas.
-
As duas equações que derivamos (copiando-as para foco) são:e
-
Comentário prático: as equações para
e ainda estão acopladas entre si através do termo . Isso é natural: os potenciais não são únicos (tem a liberdade de calibre), e essa acoplagem pode ser eliminada escolhendo um calibre conveniente.
Passo 8
(d) Impondo a condição de Lorentz (gauge de Lorenz) e deduzindo as equações de onda desacopladas.
-
Imposição do gauge de Lorentz (escolha de calibre):Essa condição é permitida porque, pela liberdade de calibre, pode-se sempre escolher uma função
que transforme para satisfazer essa igualdade (solução de uma equação de onda para ) — não preciso demonstrar aqui a existência de , apenas usar que é possível. -
Substituir essa condição nas equações anteriores:Para
: o termo gradiente que acoplava some, porque Assim a equação do Passo 5 reduz paraPara: usar no Passo 6 e calcular Substituindo na equação escalar: -
Conclusão: sob o gauge de Lorentz os potenciais satisfazem equações de onda não-homogêneas (cada componente de
satisfaz a equação escalar de onda não-homogênea com fonte , e satisfaz a equação de onda com fonte ):
Resposta
(a)
e
(b)
implica
(c)
\
\
(d) Impondo
obtém-se
\
\
\
\