Usando as equações de Maxwell na forma diferencial, problema anterior, Mostrar que: a) Existe um potencial vetor \vec{A}(\vec{r}, t) de forma que \vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A} e um potencial escalar \varphi(\vec{r}, t) para o qual \vec{E}=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\vec{\nabla} \varphi \cdot b) Se \vec{A} é substituído por \vec{A}^{\prime}=\vec{A}+\vec{\nabla} \psi, mostrar que \varphi deve ser substituído por \varphi^{\prime}=\varphi-\frac{\partial \psi}{\partial t} para que \vec{E} permaneça inalterada. c) Mostrar que num meio linear isotrópico homogêneo no qual \varepsilon, \mu são constantes e \sigma=0, o potencial escalar \varphi e o potencial vetor \vec{A} satisfazem \vec{\nabla}^{2} \vec{A}-\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}-\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}+\mu \varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)=-\mu \vec{J} e \vec{\nabla}^{2} \varphi+\frac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \cdot \vec{A}=-\frac{\rho}{\varepsilon}. d) Mostre que impondo a condição de Lorentz para os potenciais \vec{A} e \varphi, \vec{\nabla} \cdot \vec{A}+\mu \varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial t}=0, os potenciais satisfazem as equações de onda não homogêneas \vec{\nabla}^{2} \vec{A}-\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=-\mu \vec{J} e \vec{\nabla}^{2} \varphi-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon}.

Passo 1

Vamos primeiro listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei todas as informações do enunciado.
  • Dados (equações de Maxwell na forma diferencial, num meio linear isotrópico homogêneo quando for o caso):
    • \vec{E}(\vec{r},t) é o campo elétrico.
    • \vec{B}(\vec{r},t) é o campo magnético.
    • \rho(\vec{r},t) é a densidade de carga.
    • \vec{J}(\vec{r},t) é a densidade de corrente.
    • \varepsilon é a permissividade do meio.
    • \mu é a permeabilidade do meio.
    • No item (c) é dito que \sigma=0 (condutividade nula).
  • As equações de Maxwell em forma diferencial, que vou usar desde o começo, são:
    \begin{aligned} &\text{(1) } \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0,\\\ &\text{(2) } \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\\\ &\text{(3) } \vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho,\\\ &\text{(4) } \vec{\nabla}\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}, \end{aligned}
    com as relações constitutivas para um meio linear isotrópico homogêneo (quando aplicável):
    \vec{D}=\varepsilon \vec{E},\qquad \vec{B}=\mu \vec{H}.
  • O enunciado pede:
    (a) Mostrar existência de um potencial vetor \vec{A} tal que \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A} e de um potencial escalar \varphi tal que \vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi.
    (b) Mostrar que a transformação de calibre \vec{A}'=\vec{A}+\vec{\nabla}\psi exige \varphi'=\varphi-\dfrac{\partial\psi}{\partial t} para deixar \vec{E} invariável.
    (c) Num meio com \varepsilon,\mu constantes e \sigma=0, deduzir as equações diferenciais para \vec{A} e \varphi:
    \vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\varepsilon\mu\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}-\vec{\nabla}\!\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right)=-\mu\vec{J},
\vec{\nabla}^{2}\varphi+\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\bigr)=-\frac{\rho}{\varepsilon}.
(d) Mostrar que, impondo a condição de Lorentz (gauge de Lorenz)
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0,
os potenciais satisfazem as equações de onda não-homogêneas
\vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\varepsilon\mu\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=-\mu\vec{J}, \qquad \vec{\nabla}^{2}\varphi-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon}.

Passo 2

(a) Mostrar que existe \vec{A} tal que \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}.
  • Intuição e propriedade vetorial usada: a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero, isto é,
    \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0
    para qualquer campo suave \vec{F}. A recíproca (se \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 então existe \vec{A} com \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}) é garantida por resultados de análise vetorial (por exemplo o teorema de Helmholtz ou teoremas de potencial) desde que o domínio seja simplesmente conectado e os campos sejam suficientemente regulares (condição física usual em eletrodinâmica).
  • Aplicação: Maxwell dá \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0. Como \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})=0 para qualquer \vec{A}, existe um campo \vec{A}(\vec{r},t) tal que
    \vec{B}(\vec{r},t)=\vec{\nabla}\times\vec{A}(\vec{r},t).
    Comentário prático: fisicamente escolhe-se \vec{A} de forma que o comportamento no infinito (por exemplo \vec{A}\to 0 quando |\vec{r}|\to\infty) torne a solução única até uma função \vec{\nabla}\psi (calibre).

Passo 3

(a) Mostrar forma do campo elétrico \vec{E} em termos dos potenciais.
  • Usar a equação de Faraday: \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}.
  • Substituir \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A} (do passo anterior):
    \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{A}\bigr) = -\vec{\nabla}\times\frac{\partial\vec{A}}{\partial t},
    onde se trocou ordem de derivação temporal e operador rotacional porque supomos regularidade.
  • Reorganizando:
    \vec{\nabla}\times\Bigl(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\Bigr)=\vec{0}.
    Isso diz que o campo \vec{E}+\dfrac{\partial\vec{A}}{\partial t} tem rotacional nulo; campos com rotacional zero são gradientes de escalares (campos irrotacionais). Logo existe um escalar \varphi(\vec{r},t) tal que
    \vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\vec{\nabla}\varphi,
    onde o sinal negativo é escolha de convenção (útil para ficar com as fórmulas tradicionais). Portanto obtemos a expressão desejada:
    \boxed{\displaystyle \vec{E}(\vec{r},t)=-\frac{\partial\vec{A}(\vec{r},t)}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi(\vec{r},t).}
    • Explicação didática: a ideia é que Faraday liga mudança temporal de \vec{B} ao rotacional de \vec{E}. Como \vec{B} vem de um rotacional de \vec{A}, o lado direito é um rotacional temporal; subtraindo esse termo do \vec{E} sobra um campo com rotacional zero, que é um gradiente escalar.

Passo 4

(b) Verificar a transformação de calibre e invariância de \vec{B} e \vec{E}.
  • Definir uma função escalar arbitrária suave \psi(\vec{r},t) e fazer a substituição:
    \vec{A}'=\vec{A}+\vec{\nabla}\psi.
    • Porque isso não muda \vec{B}? Calcule: \vec{B}'=\vec{\nabla}\times\vec{A}'=\vec{\nabla}\times(\vec{A}+\vec{\nabla}\psi) =\vec{\nabla}\times\vec{A}+\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\psi).Mas \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\psi)=\vec{0}, então \vec{B}'=\vec{\nabla}\times\vec{A}=\vec{B}.Portanto \vec{B} é inalterado pela adição de \vec{\nabla}\psi ao potencial vetor.
  • Agora verificar o que é necessário acontecer com \varphi para que \vec{E} seja invariante. Escrevemos a nova expressão para \vec{E} usando \vec{A}' e um \varphi' (ainda a determinar):
    \vec{E}'=-\frac{\partial\vec{A}'}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi' =-\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{A}+\vec{\nabla}\psi\bigr)-\vec{\nabla}\varphi'.
    Expandindo:
    \vec{E}'=-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\vec{\nabla}\frac{\partial\psi}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi'.
    Para ter \vec{E}'=\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi, precisamos que
    -\vec{\nabla}\frac{\partial\psi}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi'=-\vec{\nabla}\varphi.
    Isolando e usando propriedades de \nabla:
    \vec{\nabla}\varphi'=\vec{\nabla}\varphi-\vec{\nabla}\frac{\partial\psi}{\partial t}=\vec{\nabla}\Bigl(\varphi-\frac{\partial\psi}{\partial t}\Bigr).
    Isso implica (até uma constante adicionada que pode depender de tempo mas usualmente absorvida) que
    \boxed{\displaystyle \varphi'=\varphi-\frac{\partial\psi}{\partial t}.}
    Conclusão: a transformação de calibre
    \vec{A}'=\vec{A}+\vec{\nabla}\psi,\qquad \varphi'=\varphi-\frac{\partial\psi}{\partial t}
    deixa \vec{B} e \vec{E} inalterados. Isso é o chamado “calibre” das equações eletromagnéticas — liberdade que permite escolher \psi para simplificar as equações.

Passo 5

(c) Derivar a equação para o potencial vetor \vec{A} em termos de \vec{J} e \varphi.
  • Começar da lei de Ampère-Maxwell (forma diferencial) com \vec{B}=\mu\vec{H} e \vec{D}=\varepsilon \vec{E}, e lembrando que \sigma=0 (não há corrente de condução incluída separadamente):
    \vec{\nabla}\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \vec{\nabla}\times\Bigl(\frac{\vec{B}}{\mu}\Bigr)=\vec{J}+\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
    Multiplicando por \mu:
    \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
  • Substituir \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}:
    \vec{\nabla}\times\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{A}\bigr)=\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
  • Usar a identidade vetorial fundamental (que vale para campos suficientemente suaves):
    \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})-\vec{\nabla}^{2}\vec{A},
    onde \vec{\nabla}^{2} é o laplaciano aplicado componente a componente (operador de Laplace).
  • Substituir a expressão de \vec{E} em termos dos potenciais (do Passo 3):
    \vec{E}=-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi.
    Então
    \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=-\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}-\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t}.
  • Agora, juntando tudo:
    \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})-\vec{\nabla}^{2}\vec{A} =\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\Bigl(-\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}-\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr).
  • Reorganizar para agrupar termos envolvendo \vec{A} e extrair o termo gradiente:
    -\vec{\nabla}^{2}\vec{A}+\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}) =\mu\vec{J}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}-\mu\varepsilon\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t}.
    Multiplicando por -1 e rearranjando:
    \vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}} -\vec{\nabla}\!\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right) =-\mu\vec{J}.
    Isso é exatamente a equação do enunciado para \vec{A}.

Passo 6

(c) Derivar a equação para o potencial escalar \varphi.
  • Usar a lei de Gauss para o campo elétrico no meio linear:
    \vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho \quad\Longrightarrow\quad \vec{\nabla}\cdot(\varepsilon\vec{E})=\rho.
    Com \varepsilon constante:
    \varepsilon\,\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\rho \quad\Rightarrow\quad \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon}.
  • Substituir \vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi:
    \vec{\nabla}\cdot\Bigl(-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi\Bigr)=\frac{\rho}{\varepsilon}.
    Expandindo:
    -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\bigr)-\vec{\nabla}^{2}\varphi=\frac{\rho}{\varepsilon}.
    Reorganizando para isolar o laplaciano de \varphi:
    \vec{\nabla}^{2}\varphi+\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\bigr)=-\frac{\rho}{\varepsilon}.
    Essa é a equação escalar do enunciado.

Passo 7

Resumo do item (c) e comentário didático sobre as duas equações encontradas.
  • As duas equações que derivamos (copiando-as para foco) são:
    \boxed{\displaystyle \vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\varepsilon\mu\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}} -\vec{\nabla}\!\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right)=-\mu\vec{J}}
    e
    \boxed{\displaystyle \vec{\nabla}^{2}\varphi+\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\bigr)=-\frac{\rho}{\varepsilon}}.
  • Comentário prático: as equações para \vec{A} e \varphi ainda estão acopladas entre si através do termo \vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t}. Isso é natural: os potenciais não são únicos (tem a liberdade de calibre), e essa acoplagem pode ser eliminada escolhendo um calibre conveniente.

Passo 8

(d) Impondo a condição de Lorentz (gauge de Lorenz) e deduzindo as equações de onda desacopladas.
  • Imposição do gauge de Lorentz (escolha de calibre):
    \vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0.
    Essa condição é permitida porque, pela liberdade de calibre, pode-se sempre escolher uma função \psi que transforme (\vec{A},\varphi) para satisfazer essa igualdade (solução de uma equação de onda para \psi) — não preciso demonstrar aqui a existência de \psi, apenas usar que é possível.
  • Substituir essa condição nas equações anteriores:
    Para \vec{A}: o termo gradiente que acoplava some, porque
    \vec{\nabla}\!\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right)=\vec{\nabla}(0)=\vec{0}.
    Assim a equação do Passo 5 reduz para
    \vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\varepsilon\mu\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=-\mu\vec{J}.
    Para \varphi: usar \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=-\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t} no Passo 6 e calcular
    \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\bigr)=-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}.
    Substituindo na equação escalar:
    \vec{\nabla}^{2}\varphi-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon}.
  • Conclusão: sob o gauge de Lorentz os potenciais satisfazem equações de onda não-homogêneas (cada componente de \vec{A} satisfaz a equação escalar de onda não-homogênea com fonte -\mu J_i, e \varphi satisfaz a equação de onda com fonte -\rho/\varepsilon):
    \boxed{\displaystyle \vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\varepsilon\mu\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=-\mu\vec{J}, \qquad \vec{\nabla}^{2}\varphi-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon}.}

Resposta

(a) \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A} e \displaystyle \vec{E}=-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\vec{\nabla}\varphi.
(b) \vec{A}'=\vec{A}+\vec{\nabla}\psi implica \displaystyle \varphi'=\varphi-\frac{\partial\psi}{\partial t}.
(c) \displaystyle \vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\varepsilon\mu\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}-\vec{\nabla}\!\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right)=-\mu\vec{J}
\
\displaystyle \vec{\nabla}^{2}\varphi+\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\bigr)=-\frac{\rho}{\varepsilon}.
(d) Impondo \displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0 obtém-se
\
\displaystyle \vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\varepsilon\mu\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=-\mu\vec{J}
\
\displaystyle \vec{\nabla}^{2}\varphi-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon}

Exercícios relacionados