Um reservatório aberto à atmosfera alimenta uma tubulação que sofre uma redução de diâmetro ao longo do escoamento.
Dados do sistema:
  • Trecho 1 (antes da redução): Diâmetro: 100 mm
  • Trecho 2 (após a redução): Diâmetro: 50 mm
  • Vazão: 6 \mathrm{~L} / \mathrm{s}
  • Desnível entre o nível d’água do reservatório e o eixo da tubulação: 4 m
  • Perda de carga total até o ponto após a redução: 3 m
Considere escoamento permanente e despreze perdas localizadas na redução.
a) Calcular a velocidade nos dois trechos da tubulação
b) Aplicar a equação de Bernoulli entre o reservatório e o ponto após a redução
c) Determinar a pressão nesse ponto (em metros de coluna d’água)
d) Dizer se ocorre pressão negativa e justificar
e) Esboçar qualitativamente a Linha de Energia (LE) e a Linha Piezométrica (LP) ao longo do sistema
f) Explicar por que a LP sofre uma queda mais acentuada na região de redução de diâmetro, mesmo sem considerar perda localizada.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular a velocidade nos dois trechos da tubulação.
(b) Aplicar a equação de Bernoulli entre o reservatório (superfície livre) e o ponto após a redução.
(c) Determinar a pressão nesse ponto, em metros de coluna d’água.
(d) Dizer se ocorre pressão negativa e justificar.
(e) Esboçar qualitativamente a Linha de Energia (LE) e a Linha Piezométrica (LP) ao longo do sistema.
(f) Explicar por que a LP sofre uma queda mais acentuada na região de redução de diâmetro, mesmo sem perda localizada.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Trecho 1 (antes da redução): diâmetro D_1=100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m}.
  • Trecho 2 (após a redução): diâmetro D_2=50\\ \mathrm{mm}=0,050\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: Q=6\\ \mathrm{L/s}=0,006\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Desnível entre o nível d’água do reservatório e o eixo da tubulação: \Delta z = z_0 - z_2 = 4\\ \mathrm{m}. (assumo o eixo da tubulação como referência z_2=0, então z_0=4\\ \mathrm{m}).
  • Perda de carga total até o ponto após a redução: h_L=3\\ \mathrm{m}.
  • Escoamento permanente e desprezam-se perdas localizadas na redução (ou seja, h_L já é a perda total distribuída até o ponto).
Observação: todas as próximas fórmulas e cálculos usarão g=9,81\\ \mathrm{m/s^2} e \pi quando necessário.

Passo 2

Como calcular velocidade a partir da vazão (continuidade) — teoria rápida e aplicação.
Fórmula da continuidade (explicação): para escoamento incompressível em seção uniforme, a vazão volumétrica Q é dada por
Q = A\,v,
onde A é a área da seção transversal e v é a velocidade média. Aqui A=\dfrac{\pi D^2}{4}. As variáveis significam:
  • Q: vazão volumétrica em \mathrm{m^3/s}.
  • A: área da seção em \mathrm{m^2}.
  • v: velocidade média em \mathrm{m/s}.
Cálculo das áreas:
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0,100)^2}{4}=\pi\cdot 0,0025=0,0078539816\\ \mathrm{m^2}.
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0,050)^2}{4}=\pi\cdot 0,000625=0,0019634954\\ \mathrm{m^2}.
(Observação: A_2 = (D_2/D_1)^2 A_1 = 0{,}25 A_1.)
Cálculo das velocidades usando v=Q/A:
v_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0,006}{0,0078539816}=0,763943\\ \mathrm{m/s}\approx 0,764\\ \mathrm{m/s}.
v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0,006}{0,0019634954}=3,05577\\ \mathrm{m/s}\approx 3,056\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: ao reduzir o diâmetro para metade, a área cai para um quarto e a velocidade aumenta em fator 4, aqui de \approx0{,}76\\ \mathrm{m/s} para \approx3{,}06\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Aplicando a equação de Bernoulli (com perdas) entre a superfície livre do reservatório (ponto 0) e o ponto após a redução (ponto 2) — teoria e montagem da equação.
Bernoulli energético com perda de carga global entre dois pontos diz:
\frac{p_0}{\gamma}+\frac{v_0^2}{2g}+z_0=\frac{p_2}{\gamma}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2+h_L,
onde:
  • p/\gamma é a cabeça de pressão (m de água), com \gamma=\rho g (peso específico). Usaremos diretamente p/\gamma em metros de coluna d’água.
  • v^2/(2g) é a cabeça cinética (m).
  • z é a cota (m).
  • h_L é a perda de carga total entre os pontos (m).
Justificações e simplificações:
  • Superfície livre do reservatório está à pressão atmosférica, e queremos a pressão relativa à atmosfera, então \dfrac{p_0}{\gamma}=0 (referência).
  • A superfície do reservatório é grande, portanto v_0\approx 0.
  • Tomamos z_0=4\\ \mathrm{m} e z_2=0\\ \mathrm{m}.
    Substituindo:
0 + 0 + 4 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + 0 + 3.
Isolando \dfrac{p_2}{\gamma} (que é a pressão em metros de coluna d’água):
\frac{p_2}{\gamma} = 4 - 3 - \frac{v_2^2}{2g} = 1 - \frac{v_2^2}{2g}.
Agora substituo o valor numérico de v_2 (do Passo 2) e g:
\frac{v_2^2}{2g}=\frac{(3{,}05577)^2}{2\cdot 9{,}81}=\frac{9{,}3376}{19{,}62}=0{,}4760\\ \mathrm{m}.
Portanto
\frac{p_2}{\gamma}=1 - 0{,}4760 = 0{,}5240\\ \mathrm{m}.
Conclusão do Bernoulli: a cabeça de pressão no ponto após a redução é \dfrac{p_2}{\gamma}\approx 0{,}524\\ \mathrm{m} de coluna d’água.

Passo 4

Converter e interpretar a pressão encontrada — resposta numérica e significado.
A pressão no ponto, expressa em metros de coluna d’água, é
\frac{p_2}{\gamma}\approx 0{,}524\\ \mathrm{m}.
Isto é, a pressão absoluta naquele ponto é atmosférica mais a cabeça de 0,524 m de água. Como o enunciado pediu em metros de coluna d’água, este valor já é a resposta pedida em (c).
Se for necessário em Pascal, a conversão é p_2=\rho g \cdot (p_2/\gamma); com \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3} p_2\approx 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}524\approx 5{,}14\times 10^3\\ \mathrm{Pa}. (Só uma observação — o enunciado pediu metros de água.)

Passo 5

Responder se ocorre pressão negativa e justificar (intuição e conclusão).
Quando o enunciado pergunta se “ocorre pressão negativa” normalmente quer saber se a pressão relativa à atmosfera fica subatmosférica (ou seja, pressão gauge negativa). Aqui \dfrac{p_2}{\gamma}=0{,}524\\ \mathrm{m}>0, portanto a pressão no ponto é maior que a pressão atmosférica: não ocorre pressão negativa (não há sucção abaixo de atmosfera). Em termos práticos: a energia disponível (4 m de altura) menos perdas (3 m) ainda sobra para fornecer cerca de 0{,}52\\ \mathrm{m} de cabeça de pressão, apesar do aumento de velocidade.
Comentário empático: então, relaxa — aqui não vamos ter “vácuo” nem cavitação por pressões negativas (pelo menos segundo estes dados).

Passo 6

Esboço qualitativo e descrição da Linha de Energia (LE) e da Linha Piezométrica (LP).
Definições rápidas:
  • Linha de Energia (LE) é o traçado de \text{LE} = \dfrac{p}{\gamma}+\dfrac{v^2}{2g}+z. Representa a energia total por unidade de peso.
  • Linha Piezométrica (LP) é o traçado de \text{LP} = \dfrac{p}{\gamma}+z. Mostra a cota hidráulica (pressão convertida em altura + cota).
Descrição qualitativa ao longo do sistema:
  • No reservatório (superfície livre): \text{LP} = z_0 = 4\\ \mathrm{m} (porque p/\gamma=0 e v\approx0), e \text{LE}= também aproximadamente 4\\ \mathrm{m}.
  • Ao seguir pela tubulação até o ponto após a redução, a LE decresce de forma contínua devido às perdas distribuídas até atingir um valor \text{LE}_2 = \text{LP}_2 + v_2^2/(2g). A LE cai do valor inicial 4\\ \mathrm{m} até 4-h_L=1\\ \mathrm{m} quando ainda não incluímos a conversão para velocidade no trecho (a conta feita no Passo 3 mostra que do lado direito temos p_2/\gamma+v_2^2/(2g)+0 + h_L =4).
  • A LP acompanha a LE, mas sofre uma queda mais acentuada na região de redução de diâmetro porque ali a cabeça cinética v^2/(2g) aumenta muito; como \text{LE}=\text{LP}+v^2/(2g), para uma LE praticamente contínua, um aumento de v^2/(2g) força a LP a cair. Concretamente: antes da redução v_1^2/(2g)\approx 0{,}03\\ \mathrm{m}, após a redução v_2^2/(2g)\approx 0{,}48\\ \mathrm{m}, logo a LP tem uma descontinuidade (queda acentuada) na região da redução — não por perda localizada (desprezada), mas por conversão de cabeça de pressão em cabeça cinética.
Visual mental (sem desenho): imagine duas linhas ao longo do perfil longitudinal:
  • LE: uma linha mais alta, decaindo suavemente desde 4\\ \mathrm{m} até algo próximo de 1\\ \mathrm{m} por causa das perdas.
  • LP: uma linha abaixo da LE. Antes da redução a LP está quase no mesmo nível (porque v_1^2/(2g) é pequeno), então LP está pouco abaixo da LE. Na região da redução a LP afunda (queda marcada) porque v^2/(2g) sobe; depois segue decrescendo até o ponto final.

Passo 7

Explicação física detalhada por que a LP cai acentuadamente na redução, mesmo sem perda localizada — com números para fixar a ideia.
Raciocínio físico (passo a passo, sem jargão complicado):
  • A energia total por unidade de peso (LE) ao longo do escoamento diminui apenas por perdas h_L. Se não houver perda localizada extra na redução, a LE não “salta” por causa da redução; ela varia relativamente suave conforme as perdas distribuídas.
  • A LP é o que resta quando se subtrai a energia cinética \dfrac{v^2}{2g} da LE: \text{LP}=\text{LE}-\dfrac{v^2}{2g}.
  • Ao reduzir o diâmetro a velocidade aumenta (a gente calculou isso no Passo 2). Portanto \dfrac{v^2}{2g} aumenta. Como a LE não aumenta para compensar (pelo contrário ela decresce), só resta à LP cair para que a soma \text{LP}+\dfrac{v^2}{2g} permaneça igual à LE naquele ponto. Ou seja: aumento de energia cinética vem às custas da pressão (cabeça de pressão), fazendo a LP descer.
Números que fixam a ideia:
\frac{v_1^2}{2g}\approx\frac{(0{,}764)^2}{2\cdot 9{,}81}=0{,}030\\ \mathrm{m}, \qquad \frac{v_2^2}{2g}\approx 0{,}476\\ \mathrm{m}.
Diferença de cabeça cinética ≈ 0{,}446\\ \mathrm{m}. Isso explica praticamente toda a queda acentuada observada na LP na região da redução (sem invocar perda localizada): a pressão cai para fornecer essa maior energia cinética.

Resposta

(a) v_1\approx 0{,}764\\ \mathrm{m/s};\quad v_2\approx 3{,}056\\ \mathrm{m/s}.
(b) Aplicando Bernoulli entre superfície do reservatório (padrão atmosférico, v_0\approx0, z_0=4\\ \mathrm{m}) e o ponto após redução ( z_2=0): \displaystyle 0+0+4=\frac{p_2}{\gamma}+\frac{v_2^2}{2g}+0+h_L, logo \displaystyle \frac{p_2}{\gamma}=4-h_L-\frac{v_2^2}{2g}=1-\frac{v_2^2}{2g}.
(c) Pressão no ponto em metros de coluna d’água: \displaystyle \frac{p_2}{\gamma}\approx 0{,}524\\ \mathrm{m}.
(d) Não; a pressão relativa à atmosfera no ponto é positiva ( \approx 0{,}524\\ \mathrm{m} de água), portanto não ocorre pressão negativa.
(e) LE: linha acima que decresce suavemente desde 4\\ \mathrm{m} devido às perdas; LP: linha abaixo que acompanha a LE mas sofre uma queda acentuada na região de redução (devido ao aumento de v^2/(2g)), depois continua a decrescer.
(f) Porque na redução a velocidade aumenta muito, portanto a cabeça cinética \dfrac{v^2}{2g} aumenta; como \text{LE}=\text{LP}+\dfrac{v^2}{2g} e LE não aumenta, a LP tem que cair para compensar — isto é, parte da cabeça de pressão é convertida em cabeça cinética, produzindo a queda acentuada da LP.

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