Um reservatório aberto à atmosfera alimenta uma tubulação que sofre uma redução de diâmetro ao longo do escoamento.
Dados do sistema:
- Trecho 1 (antes da redução): Diâmetro: 100 mm
- Trecho 2 (após a redução): Diâmetro: 50 mm
- Vazão:
- Desnível entre o nível d’água do reservatório e o eixo da tubulação: 4 m
- Perda de carga total até o ponto após a redução: 3 m
Considere escoamento permanente e despreze perdas localizadas na redução.
a) Calcular a velocidade nos dois trechos da tubulação
b) Aplicar a equação de Bernoulli entre o reservatório e o ponto após a redução
c) Determinar a pressão nesse ponto (em metros de coluna d’água)
d) Dizer se ocorre pressão negativa e justificar
e) Esboçar qualitativamente a Linha de Energia (LE) e a Linha Piezométrica (LP) ao longo do sistema
f) Explicar por que a LP sofre uma queda mais acentuada na região de redução de diâmetro, mesmo sem considerar perda localizada.
a) Calcular a velocidade nos dois trechos da tubulação
b) Aplicar a equação de Bernoulli entre o reservatório e o ponto após a redução
c) Determinar a pressão nesse ponto (em metros de coluna d’água)
d) Dizer se ocorre pressão negativa e justificar
e) Esboçar qualitativamente a Linha de Energia (LE) e a Linha Piezométrica (LP) ao longo do sistema
f) Explicar por que a LP sofre uma queda mais acentuada na região de redução de diâmetro, mesmo sem considerar perda localizada.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular a velocidade nos dois trechos da tubulação.
(b) Aplicar a equação de Bernoulli entre o reservatório (superfície livre) e o ponto após a redução.
(c) Determinar a pressão nesse ponto, em metros de coluna d’água.
(d) Dizer se ocorre pressão negativa e justificar.
(e) Esboçar qualitativamente a Linha de Energia (LE) e a Linha Piezométrica (LP) ao longo do sistema.
(f) Explicar por que a LP sofre uma queda mais acentuada na região de redução de diâmetro, mesmo sem perda localizada.
(a) Calcular a velocidade nos dois trechos da tubulação.
(b) Aplicar a equação de Bernoulli entre o reservatório (superfície livre) e o ponto após a redução.
(c) Determinar a pressão nesse ponto, em metros de coluna d’água.
(d) Dizer se ocorre pressão negativa e justificar.
(e) Esboçar qualitativamente a Linha de Energia (LE) e a Linha Piezométrica (LP) ao longo do sistema.
(f) Explicar por que a LP sofre uma queda mais acentuada na região de redução de diâmetro, mesmo sem perda localizada.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Trecho 1 (antes da redução): diâmetro
. - Trecho 2 (após a redução): diâmetro
. - Vazão:
. - Desnível entre o nível d’água do reservatório e o eixo da tubulação:
. (assumo o eixo da tubulação como referência , então ). - Perda de carga total até o ponto após a redução:
. - Escoamento permanente e desprezam-se perdas localizadas na redução (ou seja,
já é a perda total distribuída até o ponto).
Observação: todas as próximas fórmulas e cálculos usarão
e
quando necessário.
Passo 2
Como calcular velocidade a partir da vazão (continuidade) — teoria rápida e aplicação.
Fórmula da continuidade (explicação): para escoamento incompressível em seção uniforme, a vazão volumétrica
é dada por
onde
é a área da seção transversal e
é a velocidade média. Aqui
. As variáveis significam:
-
: vazão volumétrica em . -
: área da seção em . -
: velocidade média em .
Cálculo das áreas:
(Observação:
.)
Cálculo das velocidades usando
:
Interpretação curta: ao reduzir o diâmetro para metade, a área cai para um quarto e a velocidade aumenta em fator 4, aqui de
para
.
Passo 3
Aplicando a equação de Bernoulli (com perdas) entre a superfície livre do reservatório (ponto 0) e o ponto após a redução (ponto 2) — teoria e montagem da equação.
Bernoulli energético com perda de carga global entre dois pontos diz:
onde:
-
é a cabeça de pressão (m de água), com (peso específico). Usaremos diretamente em metros de coluna d’água. -
é a cabeça cinética (m). -
é a cota (m). -
é a perda de carga total entre os pontos (m).
Justificações e simplificações:
- Superfície livre do reservatório está à pressão atmosférica, e queremos a pressão relativa à atmosfera, então
(referência). - A superfície do reservatório é grande, portanto
. - Tomamos
e .
Substituindo:
Isolando
(que é a pressão em metros de coluna d’água):
Agora substituo o valor numérico de
(do Passo 2) e
:
Portanto
Conclusão do Bernoulli: a cabeça de pressão no ponto após a redução é
de coluna d’água.
Passo 4
Converter e interpretar a pressão encontrada — resposta numérica e significado.
A pressão no ponto, expressa em metros de coluna d’água, é
Isto é, a pressão absoluta naquele ponto é atmosférica mais a cabeça de 0,524 m de água. Como o enunciado pediu em metros de coluna d’água, este valor já é a resposta pedida em (c).
Se for necessário em Pascal, a conversão é
; com
dá
. (Só uma observação — o enunciado pediu metros de água.)
Passo 5
Responder se ocorre pressão negativa e justificar (intuição e conclusão).
Quando o enunciado pergunta se “ocorre pressão negativa” normalmente quer saber se a pressão relativa à atmosfera fica subatmosférica (ou seja, pressão gauge negativa). Aqui
, portanto a pressão no ponto é maior que a pressão atmosférica: não ocorre pressão negativa (não há sucção abaixo de atmosfera). Em termos práticos: a energia disponível (4 m de altura) menos perdas (3 m) ainda sobra para fornecer cerca de
de cabeça de pressão, apesar do aumento de velocidade.
Comentário empático: então, relaxa — aqui não vamos ter “vácuo” nem cavitação por pressões negativas (pelo menos segundo estes dados).
Passo 6
Esboço qualitativo e descrição da Linha de Energia (LE) e da Linha Piezométrica (LP).
Definições rápidas:
- Linha de Energia (LE) é o traçado de
. Representa a energia total por unidade de peso. - Linha Piezométrica (LP) é o traçado de
. Mostra a cota hidráulica (pressão convertida em altura + cota).
Descrição qualitativa ao longo do sistema:
- No reservatório (superfície livre):
(porque e ), e também aproximadamente . - Ao seguir pela tubulação até o ponto após a redução, a LE decresce de forma contínua devido às perdas distribuídas até atingir um valor
. A LE cai do valor inicial até quando ainda não incluímos a conversão para velocidade no trecho (a conta feita no Passo 3 mostra que do lado direito temos ). - A LP acompanha a LE, mas sofre uma queda mais acentuada na região de redução de diâmetro porque ali a cabeça cinética
aumenta muito; como , para uma LE praticamente contínua, um aumento de força a LP a cair. Concretamente: antes da redução , após a redução , logo a LP tem uma descontinuidade (queda acentuada) na região da redução — não por perda localizada (desprezada), mas por conversão de cabeça de pressão em cabeça cinética.
Visual mental (sem desenho): imagine duas linhas ao longo do perfil longitudinal:
- LE: uma linha mais alta, decaindo suavemente desde
até algo próximo de por causa das perdas. - LP: uma linha abaixo da LE. Antes da redução a LP está quase no mesmo nível (porque
é pequeno), então LP está pouco abaixo da LE. Na região da redução a LP afunda (queda marcada) porque sobe; depois segue decrescendo até o ponto final.
Passo 7
Explicação física detalhada por que a LP cai acentuadamente na redução, mesmo sem perda localizada — com números para fixar a ideia.
Raciocínio físico (passo a passo, sem jargão complicado):
- A energia total por unidade de peso (LE) ao longo do escoamento diminui apenas por perdas
. Se não houver perda localizada extra na redução, a LE não “salta” por causa da redução; ela varia relativamente suave conforme as perdas distribuídas. - A LP é o que resta quando se subtrai a energia cinética
da LE: . - Ao reduzir o diâmetro a velocidade aumenta (a gente calculou isso no Passo 2). Portanto
aumenta. Como a LE não aumenta para compensar (pelo contrário ela decresce), só resta à LP cair para que a soma permaneça igual à LE naquele ponto. Ou seja: aumento de energia cinética vem às custas da pressão (cabeça de pressão), fazendo a LP descer.
Números que fixam a ideia:
Diferença de cabeça cinética ≈
. Isso explica praticamente toda a queda acentuada observada na LP na região da redução (sem invocar perda localizada): a pressão cai para fornecer essa maior energia cinética.
Resposta
(a)
.
(b) Aplicando Bernoulli entre superfície do reservatório (padrão atmosférico, ,
) e o ponto após redução (
):
, logo
.
(c) Pressão no ponto em metros de coluna d’água: .
(d) Não; a pressão relativa à atmosfera no ponto é positiva ( de água), portanto não ocorre pressão negativa.
(e) LE: linha acima que decresce suavemente desde devido às perdas; LP: linha abaixo que acompanha a LE mas sofre uma queda acentuada na região de redução (devido ao aumento de
), depois continua a decrescer.
(f) Porque na redução a velocidade aumenta muito, portanto a cabeça cinética aumenta; como
e LE não aumenta, a LP tem que cair para compensar — isto é, parte da cabeça de pressão é convertida em cabeça cinética, produzindo a queda acentuada da LP.
(b) Aplicando Bernoulli entre superfície do reservatório (padrão atmosférico,
(c) Pressão no ponto em metros de coluna d’água:
(d) Não; a pressão relativa à atmosfera no ponto é positiva (
(e) LE: linha acima que decresce suavemente desde
(f) Porque na redução a velocidade aumenta muito, portanto a cabeça cinética