Uma aleta reta de secção constante (retangular) está soldada à superfície de uma parede cuja temperatura é T_{b}=100^{\circ} \mathrm{C}. A aleta tem comprimento L=0,05 \mathrm{~m}, condutividade térmica k= 200 \mathrm{~W} /(m . K), perímetro de P=0,02 \mathrm{~m}, área da secção transversal A_{c}=4,0 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}, e é submetida a convecção para um fluido a T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente convectivo \mathrm{h}=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. O ponto da aleta é adiabático. Determine: (3 pts)
a. A distribuição de temperatura T(x) ao longo da aleta e a temperatura no ponto x=0,02 \mathrm{~m},
b. A taxa de transferência de calor \dot{Q}.
c. A eficiência da aleta \eta_{\text {aleta}}.
d. A eficácia da aleta \varepsilon
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos esses números do enunciado).
Dados:
Temperatura da base: T_{b}=100^\circ\mathrm{C}.
Temperatura do fluido: T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
Condição no ponta: adiabática (isto é, sem perda de calor na ponta).
O enunciado pede:
a. A distribuição de temperatura T(x) ao longo da aleta e a temperatura no ponto x=0{,}02\\ \mathrm{m}.
b. A taxa de transferência de calor \dot{Q} (da base para o fluido através da aleta).
c. A eficiência da aleta \eta_{\text{aleta}}.
d. A eficácia (efetividade) da aleta \varepsilon.
Passo 2
Explicando a teoria que vamos usar (passo a passo e sem pular etapas).
Definição de variável de interesse: é útil trabalhar com a diferença de temperatura entre a aleta e o fluido:
\theta(x)=T(x)-T_{\infty}.
Para uma aleta com seção constante, perdas por convecção ao longo do perímetro P e sem geração interna de calor, o equilíbrio de energia na forma diferencial (regra de Fourier + convecção lateral) leva à equação ordinária:
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0,
onde m é o parâmetro característico da aleta definido por
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_{c}}}.
Explicando: a primeira derivada aparece quando consideramos fluxo condutivo ao longo da aleta e o termo hP representa a perda por unidade de comprimento por convecção; dividir por kA_c transforma essas perdas em um termo por unidade de comprimento equivalente no balanço.
Condições de contorno:
Na base ( x=0 ): T(0)=T_{b}, logo \theta(0)=\theta_{b}=T_{b}-T_{\infty}.
Na ponta ( x=L ), adiabática: \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L}=0, então também \left.\dfrac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=0.
Passo 3
Solução geral da equação diferencial e aplicação das condições de contorno.
Explicando em palavras: a função \operatorname{cosh} aparece porque a equação é linear com soluções hiperbólicas; a fração garante que em x=0 a temperatura vale T_b e que a derivada em x=L é zero.
Passo 4
Cálculo numérico do parâmetro m e do fator \theta_{b}.
Cálculo da eficiência da aleta \eta_{\text{aleta}}.
Definição: a eficiência da aleta é a razão entre o calor real transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da base T_b. A área de superfície lateral da aleta (exposta à convecção) é A_{s}=P L. Assim,
Interpretação: eficiência muito alta porque a aleta é curta e conduz muito bem o calor.
Passo 9
Cálculo da eficácia (efetividade) da aleta \varepsilon.
Definição de eficácia (também chamada de efetividade): compara o calor fornecido pela aleta com o calor que viria da mesma área da base caso não houvesse aleta. A definição mais comum para uma única aleta é
\varepsilon=\frac{\dot{Q}}{hA_{c}\theta_{b}},
onde A_c é a área de contato (a seção da aleta) que representa a área que a aleta “adiciona” à troca (ou seja, é a área da superfície ao qual a aleta está ligando a parede).