Uma aleta reta de secção constante (retangular) está soldada à superfície de uma parede cuja temperatura é T_{b}=100^{\circ} \mathrm{C}. A aleta tem comprimento L=0,05 \mathrm{~m}, condutividade térmica k= 200 \mathrm{~W} /(m . K), perímetro de P=0,02 \mathrm{~m}, área da secção transversal A_{c}=4,0 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}, e é submetida a convecção para um fluido a T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente convectivo \mathrm{h}=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. O ponto da aleta é adiabático. Determine: (3 pts)
a. A distribuição de temperatura T(x) ao longo da aleta e a temperatura no ponto x=0,02 \mathrm{~m},
b. A taxa de transferência de calor \dot{Q}.
c. A eficiência da aleta \eta_{\text {aleta}}.
d. A eficácia da aleta \varepsilon

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos esses números do enunciado).
Dados:
  • Temperatura da base: T_{b}=100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do fluido: T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimento da aleta: L=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica: k=200\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Perímetro da seção exposta: P=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal: A_{c}=4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Coeficiente convectivo: h=25\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Condição no ponta: adiabática (isto é, sem perda de calor na ponta).
O enunciado pede:
a. A distribuição de temperatura T(x) ao longo da aleta e a temperatura no ponto x=0{,}02\\ \mathrm{m}.
b. A taxa de transferência de calor \dot{Q} (da base para o fluido através da aleta).
c. A eficiência da aleta \eta_{\text{aleta}}.
d. A eficácia (efetividade) da aleta \varepsilon.

Passo 2

Explicando a teoria que vamos usar (passo a passo e sem pular etapas).
  • Definição de variável de interesse: é útil trabalhar com a diferença de temperatura entre a aleta e o fluido:
\theta(x)=T(x)-T_{\infty}.
  • Para uma aleta com seção constante, perdas por convecção ao longo do perímetro P e sem geração interna de calor, o equilíbrio de energia na forma diferencial (regra de Fourier + convecção lateral) leva à equação ordinária:
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0,
onde m é o parâmetro característico da aleta definido por
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_{c}}}.
Explicando: a primeira derivada aparece quando consideramos fluxo condutivo ao longo da aleta e o termo hP representa a perda por unidade de comprimento por convecção; dividir por kA_c transforma essas perdas em um termo por unidade de comprimento equivalente no balanço.
Condições de contorno:
  • Na base ( x=0 ): T(0)=T_{b}, logo \theta(0)=\theta_{b}=T_{b}-T_{\infty}.
  • Na ponta ( x=L ), adiabática: \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L}=0, então também \left.\dfrac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=0.

Passo 3

Solução geral da equação diferencial e aplicação das condições de contorno.
  • A solução geral de
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0
é
\theta(x)=C_{1}\operatorname{cosh}(mx)+C_{2}\operatorname{sinh}(mx),
onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar.
  • Aplicando a condição na base x=0:
\theta(0)=C_{1}\operatorname{cosh}(0)+C_{2}\operatorname{sinh}(0)=C_{1}=\theta_{b}.
Logo C_{1}=\theta_{b}.
  • Aplicando a condição de ponta adiabática \left.\dfrac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=0. Primeiro calcule a derivada:
\frac{d\theta}{dx}=m\big(C_{1}\operatorname{sinh}(mx)+C_{2}\operatorname{cosh}(mx)\big).
Em x=L impõe-se:
C_{1}\operatorname{sinh}(mL)+C_{2}\operatorname{cosh}(mL)=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-C_{1}\operatorname{tanh}(mL)=-\theta_{b}\operatorname{tanh}(mL).
  • Substituindo as constantes, obtém-se uma forma compacta muito usada para a aleta com ponta adiabática:
\theta(x)=\theta_{b}\,\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}.
Portanto, a distribuição de temperatura é
T(x)=T_{\infty}+\theta(x)=T_{\infty}+\big(T_{b}-T_{\infty}\big)\,\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}.
Explicando em palavras: a função \operatorname{cosh} aparece porque a equação é linear com soluções hiperbólicas; a fração garante que em x=0 a temperatura vale T_b e que a derivada em x=L é zero.

Passo 4

Cálculo numérico do parâmetro m e do fator \theta_{b}.
  • Primeiro o excesso de temperatura na base:
\theta_{b}=T_{b}-T_{\infty}=100-25=75\\ \mathrm{K}.
  • Agora m:
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_{c}}}=\sqrt{\frac{25\cdot0{,}02}{200\cdot4{,}0\times10^{-4}}}.
Calcule internamente:
25\cdot0{,}02=0{,}5,\qquad 200\cdot4{,}0\times10^{-4}=200\cdot0{,}0004=0{,}08,
então
m=\sqrt{\frac{0{,}5}{0{,}08}}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Avaliar T(x) no ponto x=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Calcule mL e m(L-x):
mL=2{,}5\times0{,}05=0{,}125,\qquad m(L-x)=2{,}5\times(0{,}05-0{,}02)=2{,}5\times0{,}03=0{,}075.
  • Usando a fórmula obtida:
T(x)=T_{\infty}+\theta_{b}\,\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}.
Substituindo números:
T(0{,}02)=25+\;75\;\frac{\operatorname{cosh}(0{,}075)}{\operatorname{cosh}(0{,}125)}.
  • Avaliando as cosh (usando expansão/taylor para precisão suficiente para provas sem calculadora):
\operatorname{cosh}(0{,}075)\approx1{,}0028138,\qquad \operatorname{cosh}(0{,}125)\approx1{,}0078227,
logo a razão é aproximadamente 0{,}99503 e
T(0{,}02)\approx25+75\times0{,}99503\approx25+74{,}6273\approx99{,}63^\circ\mathrm{C}.
Interpretando: a aleta praticamente está quase toda na temperatura da base porque mL é pequeno (a aleta é curta e condutância interna alta).

Passo 6

Cálculo da taxa de transferência de calor \dot{Q}.
  • A taxa de calor fornecida pela base (fluxo condutivo para a aleta na base) é
\dot{Q}=-kA_{c}\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}.
Como T=T_{\infty}+\theta e T_{\infty} é constante, pode-se usar \theta no lugar de T.
  • Usando a expressão da derivada já obtida (e C_{1}=\theta_{b}):
\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=0}=m\big(\theta_{b}\operatorname{sinh}(0)+C_{2}\operatorname{cosh}(0)\big)=m\,C_{2}.
Com C_{2}=-\theta_{b}\operatorname{tanh}(mL), tem-se
\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=0}=-m\,\theta_{b}\operatorname{tanh}(mL).
Portanto
\dot{Q}= -kA_{c}\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=kA_{c}m\,\theta_{b}\operatorname{tanh}(mL).
  • Observação útil: usando m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}} podemos reescrever
kA_{c}m=\sqrt{hP k A_{c}},
então uma forma compacta é
\dot{Q}=\sqrt{hP k A_{c}}\;\theta_{b}\operatorname{tanh}(mL).

Passo 7

Avaliação numérica de \dot{Q}.
  • Primeiro calcule kA_{c}m (ou a forma raiz):
\sqrt{hP k A_{c}}=\sqrt{25\cdot0{,}02\cdot200\cdot4{,}0\times10^{-4}}.
Calcule por partes:
25\cdot0{,}02=0{,}5,\qquad 200\cdot4{,}0\times10^{-4}=0{,}08,\qquad 0{,}5\cdot0{,}08=0{,}04,
assim
\sqrt{0{,}04}=0{,}2\\ \mathrm{(unidade\\ W/K)}.
  • Já calculado \theta_{b}=75. Precisamos de \operatorname{tanh}(mL)=\operatorname{tanh}(0{,}125). Para z=0{,}125,
\operatorname{tanh}(0{,}125)\approx0{,}1243530\\ \text{(expansão em séries dá precisão suficiente)}.ãéáã
  • Portanto
\dot{Q}=0{,}2\times75\times0{,}1243530\approx1{,}8653\\ \mathrm{W}.
Arredondando razoavelmente: \dot{Q}\approx1{,}87\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Cálculo da eficiência da aleta \eta_{\text{aleta}}.
  • Definição: a eficiência da aleta é a razão entre o calor real transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da base T_b. A área de superfície lateral da aleta (exposta à convecção) é A_{s}=P L. Assim,
\eta_{\text{aleta}}=\frac{\dot{Q}}{hA_{s}\theta_{b}}=\frac{\dot{Q}}{hP L\,\theta_{b}}.
  • Calcule hP L\theta_{b}:
hPL\theta_{b}=25\cdot0{,}02\cdot0{,}05\cdot75.
Calcule por partes: 25\cdot0{,}02\cdot0{,}05=25\cdot0{,}001=0{,}025. Então 0{,}025\cdot75=1{,}875\\ \mathrm{W}.
  • Assim
\eta_{\text{aleta}}=\frac{1{,}8653}{1{,}875}\approx0{,}9948\approx0{,}995.
Interpretação: eficiência muito alta porque a aleta é curta e conduz muito bem o calor.

Passo 9

Cálculo da eficácia (efetividade) da aleta \varepsilon.
  • Definição de eficácia (também chamada de efetividade): compara o calor fornecido pela aleta com o calor que viria da mesma área da base caso não houvesse aleta. A definição mais comum para uma única aleta é
\varepsilon=\frac{\dot{Q}}{hA_{c}\theta_{b}},
onde A_c é a área de contato (a seção da aleta) que representa a área que a aleta “adiciona” à troca (ou seja, é a área da superfície ao qual a aleta está ligando a parede).
  • Calcule hA_{c}\theta_{b}:
hA_{c}\theta_{b}=25\cdot4{,}0\times10^{-4}\cdot75=0{,}75\\ \mathrm{W}.
  • Assim
\varepsilon=\frac{1{,}8653}{0{,}75}\approx2{,}487.
Interpretação: a aleta aumenta a transferência de calor por um fator \approx2{,}49 comparado com a superfície pequena A_c sem aleta.

Resposta

(a) T(x)=T_{\infty}+(T_{b}-T_{\infty})\,\dfrac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)} com m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_{c}}}=2{,}5\\ \mathrm{m^{-1}}.
T(0{,}02\\ \mathrm{m})\approx99{,}63^\circ\mathrm{C}.
(b) \dot{Q}=kA_{c}m\,(T_{b}-T_{\infty})\operatorname{tanh}(mL)\approx1{,}87\\ \mathrm{W}.
(c) \eta_{\text{aleta}}=\dfrac{\dot{Q}}{hP L\,(T_{b}-T_{\infty})}\approx0{,}995.
(d) \varepsilon=\dfrac{\dot{Q}}{hA_{c}(T_{b}-T_{\infty})}\approx2{,}49.

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