Uma parede plana, formada por dois materiais, de área de 1 \mathrm{~m}^{2}, separa dois fluidos com temperaturas diferentes, T_{\mathrm{om}, 1}=150^{\circ} \mathrm{C} e T_{\mathrm{o}, 2}=25^{\circ} \mathrm{C}, sendo h_{1}=100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. \mathrm{K} e h_{2}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. \mathrm{K}. A parede tem uma camada de L_{1}=0,030 m e k_{1}=0,20 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . K, a parede 2 tem uma camada de L_{2}=0,020 \mathrm{~m} e k_{2}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . K, formada por duas camadas planas em série (camada 1 mais próxima do fluido quente, camada 2 mais próxima do fluido frio). A área de transferência é A = 1,00 m². (3 pts)
a. Faça o esquema do problema e do circuito de resistências térmicas contendo todas as temperaturas e calcule a resistência térmica total entre os dois fluidos.
b. Determine o fluxo de calor através da parede.
c. Calcule as temperaturas nas superfícies da parede: superfície exposta ao fluido quente T_{3,2}, interface entre camada 1 e camada 2(T_{in}) e da superfície exposta ao fluido frio T_{s, 2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Temperaturas dos fluidos (temperaturas “a distância”): \,T_{\infty,1}=150^{\circ}\mathrm{C}\, (fluido quente) e \,T_{\infty,2}=25^{\circ}\mathrm{C}\, (fluido frio).
  • Coeficientes de convecção: \,h_{1}=100\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} (lado quente) e \,h_{2}=20\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} (lado frio).
  • Camadas da parede (em série), área de transferência: \,A=1,00\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Camada 1 (próxima ao fluido quente): \,L_{1}=0,030\\ \mathrm{m} e \,k_{1}=0,20\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Camada 2 (próxima ao fluido frio): \,L_{2}=0,020\\ \mathrm{m} e \,k_{2}=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
O enunciado pede:
a) Esquema e o circuito de resistências térmicas com todas as temperaturas e cálculo da resistência térmica total entre os dois fluidos.
b) Determinar o fluxo de calor através da parede (potência térmica).
c) Calcular as temperaturas nas superfícies da parede: superfície exposta ao fluido quente T_{3,2} (isto é, a superfície do lado quente), a interface entre camada 1 e camada 2 T_{\mathrm{in}} e a superfície exposta ao fluido frio T_{s,2}.

Passo 2

Entendendo o modelo de resistências térmicas (aula curta e prática).
  • Quando temos convecção no fluido entre o fluido “a distância” e a superfície sólida, representamos essa troca por uma resistência térmica de convecção:
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{hA},
onde \,h é o coeficiente de convecção ( \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}), A é a área ( \mathrm{m^{2}}) e a unidade de R_{\mathrm{conv}} é \mathrm{K/W}. Intuição: quanto maior h menor a resistência (mais fácil trocar calor).
  • Quando o calor percorre uma camada plana (condução unidimensional), representamos por uma resistência de condução:
R_{\mathrm{cond}}=\frac{L}{kA},
onde \,L é a espessura da camada ( \mathrm{m}) e \,k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}). Novamente, unidades \mathrm{K/W}.
  • Para camadas e convecções em série o calor é o mesmo em todas as resistências e as resistências somam:
R_{\mathrm{tot}}=\sum R_i.
  • A queda de temperatura em cada resistência é \Delta T = \dot Q \, R, onde \dot Q é o fluxo de calor (W). Também vale a lei global:
\dot Q=\frac{T_{\infty,1}-T_{\infty,2}}{R_{\mathrm{tot}}}.

Passo 3

Calcular as resistências individuais (uso direto das fórmulas acima; fiz as contas com A=1{,}00\\ \mathrm{m^{2}}).
Convecção no lado quente:
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{h_{1}A}=\frac{1}{100\cdot1}=0{,}01\\ \mathrm{K/W}.
Condução na camada 1 (L1, k1):
R_{\mathrm{cond},1}=\frac{L_{1}}{k_{1}A}=\frac{0{,}030}{0{,}20\cdot1}=0{,}150\\ \mathrm{K/W}.
Condução na camada 2 (L2, k2):
R_{\mathrm{cond},2}=\frac{L_{2}}{k_{2}A}=\frac{0{,}020}{50\cdot1}=0{,}0004\\ \mathrm{K/W}.
Convecção no lado frio:
R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{h_{2}A}=\frac{1}{20\cdot1}=0{,}05\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Montagem do circuito (descrição do esquema) e soma das resistências em série.
  • Ordem das resistências do lado quente para o lado frio:
    1. Convecção fluido quente \,R_{\mathrm{conv},1} entre T_{\infty,1} e a superfície quente T_{3,2}.
    2. Condução na camada 1 \,R_{\mathrm{cond},1} entre T_{3,2} e a interface T_{\mathrm{in}}.
    3. Condução na camada 2 \,R_{\mathrm{cond},2} entre T_{\mathrm{in}} e a superfície fria T_{s,2}.
    4. Convecção fluido frio \,R_{\mathrm{conv},2} entre T_{s,2} e T_{\infty,2}.
Resistência térmica total (soma em série):
R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},1}+R_{\mathrm{cond},2}+R_{\mathrm{conv},2}.
Substituindo os valores:
R_{\mathrm{tot}}=0{,}01+0{,}150+0{,}0004+0{,}05=0{,}2104\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Cálculo do fluxo de calor através da parede (direção: do fluido quente para o frio).
Usando a lei global:
\dot Q=\frac{T_{\infty,1}-T_{\infty,2}}{R_{\mathrm{tot}}}=\frac{150-25}{0{,}2104}=\frac{125}{0{,}2104}\approx 594{,}44\\ \mathrm{W}.
Intuição: com baixa resistência total o fluxo é grande; aqui a maior resistência é a condução na camada 1 ( 0{,}15\\ \mathrm{K/W}).

Passo 6

Cálculo das temperaturas nas superfícies (usar que a queda de temperatura numa resistência é \Delta T=\dot Q\,R). Vou progredir do lado quente ao frio.
  1. Queda na convecção do lado quente:
\Delta T_{\mathrm{conv},1}=\dot Q\,R_{\mathrm{conv},1}=594{,}44\cdot0{,}01=5{,}9444\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Logo a temperatura na superfície quente (a chamada T_{3,2} no enunciado) é
T_{3,2}=T_{\infty,1}-\Delta T_{\mathrm{conv},1}=150-5{,}9444\approx144{,}056^{\circ}\mathrm{C}.
  1. Queda na condução da camada 1:
\Delta T_{\mathrm{cond},1}=\dot Q\,R_{\mathrm{cond},1}=594{,}44\cdot0{,}150=89{,}166\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Portanto a temperatura na interface entre as duas camadas é
T_{\mathrm{in}}=T_{3,2}-\Delta T_{\mathrm{cond},1}=144{,}056-89{,}166\approx54{,}890^{\circ}\mathrm{C}.
  1. Queda na condução da camada 2:
\Delta T_{\mathrm{cond},2}=\dot Q\,R_{\mathrm{cond},2}=594{,}44\cdot0{,}0004=0{,}2378\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Assim a temperatura da superfície fria é
T_{s,2}=T_{\mathrm{in}}-\Delta T_{\mathrm{cond},2}=54{,}890-0{,}2378\approx54{,}652^{\circ}\mathrm{C}.
  1. (cheque) Queda na convecção do lado frio até o fluido:
\Delta T_{\mathrm{conv},2}=\dot Q\,R_{\mathrm{conv},2}=594{,}44\cdot0{,}05=29{,}722\\ ^{\circ}\mathrm{C},
e de fato T_{s,2}-\Delta T_{\mathrm{conv},2}\approx54{,}652-29{,}722\approx24{,}930^{\circ}\mathrm{C}, próximo de 25^{\circ}\mathrm{C} (diferença devido a arredondamentos), o que confirma a coerência dos cálculos.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica de prova:
  • A resistência dominante é a que mais limita o fluxo de calor; aqui é a camada 1 ( R_{\mathrm{cond},1}=0{,}15\\ \mathrm{K/W}). Em provas, identificar rapidamente qual resistência domina ajuda a estimar ordens de grandeza.
  • Sempre verifique a consistência: somando quedas de temperatura pelas resistências deve-se obter T_{\infty,1}-T_{\infty,2}.
  • Atenção às unidades e ao uso de A em todas as resistências.

Resposta

R_{\mathrm{tot}}=0{,}2104\\ \mathrm{K/W}
\dot Q\approx 594{,}44\\ \mathrm{W} (do fluido quente para o fluido frio)
T_{3,2}\approx 144{,}06^{\circ}\mathrm{C}
T_{\mathrm{in}}\approx 54{,}89^{\circ}\mathrm{C}
T_{s,2}\approx 54{,}65^{\circ}\mathrm{C}

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