Um canal retangular de 3 m de largura, rugosidade n=0,014 e declividade de fundo de 0,0008 \mathrm{~m} / \mathrm{m} transporta, em regime permanente e uniforme uma vazão de 6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Em uma determinada seção, a largura é reduzida suavemente para 2,80 \mathrm{~m}.
Qual a altura d’água nessa seção?

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos.
  • Pede: a altura d’água na seção onde a largura é reduzida suavemente para 2{,}80\\ \mathrm{m}.
  • Dados do enunciado:
    • Vazão: Q=6\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Rugosidade (Manning): n=0{,}014.
    • Declividade do fundo: S_{0}=0{,}0008.
    • Largura na seção onde queremos a profundidade: b=2{,}80\\ \mathrm{m}.
  • Observação importante do enunciado: o escoamento é permanente e uniforme; portanto podemos usar a fórmula de Manning para escoamento uniforme em canal aberto nessa seção.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada termo.
A fórmula empírica de Manning para escoamento uniforme é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_{0}^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área de seção molhada ( \mathrm{m^{2}\!});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido como R=\dfrac{A}{P}, onde P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S_{0} é a declividade do fundo (adimensional).
Para um canal retangular com largura b e profundidade y:
A=b\,y, \qquad P=b+2y, \qquad R=\frac{b\,y}{\,b+2y\,}.
Vou usar essas expressões e resolver a equação de Manning para y.

Passo 3

Calcular o coeficiente multiplicador \dfrac{1}{n}S_{0}^{1/2} que aparece na fórmula (passo numérico).
Primeiro a raiz quadrada da declividade:
S_{0}^{1/2}=\sqrt{0{,}0008}\approx0{,}0282842712.
O inverso de n é
\frac{1}{n}=\frac{1}{0{,}014}\approx71{,}42857143.
Multiplicando:
\frac{1}{n}\,S_{0}^{1/2}\approx71{,}42857143\times0{,}0282842712\approx2{,}020305089.
Assim a fórmula de Manning fica numericamente
Q \approx 2{,}020305089\;A\;R^{2/3}.

Passo 4

Isolar a parte que depende de y e definir o objetivo numérico.
Queremos y tal que
A\,R^{2/3}=\frac{Q}{2{,}020305089}.
Calcule o lado direito numérico:
\frac{Q}{2{,}020305089}=\frac{6}{2{,}020305089}\approx2{,}9700.
Portanto devemos encontrar y que satisfaça
b\,y\left(\frac{b\,y}{b+2y}\right)^{2/3}\approx2{,}9700,
com b=2{,}80. Essa equação não é solucionável em forma fechada simples, então faremos resolução numérica por tentativa/iteração (método prático em prova: tentativa dirigida).

Passo 5

Avaliar a função para alguns valores de y (tentativas) e comparar com o alvo 2{,}9700.
Defino a função auxiliar
F(y)=b\,y\left(\frac{b\,y}{b+2y}\right)^{2/3}.
Tentativa y=1{,}00\\ \mathrm{m}:
A=2{,}8\times1{,}00=2{,}8\\ \mathrm{m^{2}}, \quad P=2{,}8+2\times1{,}00=4{,}8\\ \mathrm{m},
R=\frac{2{,}8}{4{,}8}=0{,}583333, \quad R^{2/3}\approx0{,}583333^{2/3}\approx0{,}6984,
F(1{,}00)=2{,}8\times0{,}6984\approx1{,}9556\\ (<2{,}9700).
Tentativa y=1{,}50\\ \mathrm{m}:
A=2{,}8\times1{,}5=4{,}2,\quad P=2{,}8+3{,}0=5{,}8,
R=\frac{4{,}2}{5{,}8}\approx0{,}7241379,\quad R^{2/3}\approx0{,}8066,
F(1{,}50)=4{,}2\times0{,}8066\approx3{,}388\\ (>2{,}9700).
Como F(1{,}00)<2{,}9700 e F(1{,}50)>2{,}9700, a raiz está entre 1{,}00 e 1{,}50\\ \mathrm{m}. Vamos refinar.
Tentativa y=1{,}35\\ \mathrm{m}:
A=2{,}8\times1{,}35=3{,}78,\quad P=2{,}8+2{,}7=5{,}5,
R=\frac{3{,}78}{5{,}5}\approx0{,}687273,\quad R^{2/3}\approx0{,}7785,
F(1{,}35)=3{,}78\times0{,}7785\approx2{,}9437\\ (<2{,}9700).
Tentativa y=1{,}37\\ \mathrm{m}:
A=2{,}8\times1{,}37=3{,}836,\quad P=2{,}8+2{,}74=5{,}54,
R=\frac{3{,}836}{5{,}54}\approx0{,}6922,\quad R^{2/3}\approx0{,}7826,
F(1{,}37)=3{,}836\times0{,}7826\approx3{,}001\\ (>2{,}9700).
Portanto a solução está entre y=1{,}35 e y=1{,}37\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Refinar ainda mais por interpolação/tentativa até obter precisão adequada.
Tentativa y=1{,}36\\ \mathrm{m}:
A=2{,}8\times1{,}36=3{,}808,\quad P=2{,}8+2{,}72=5{,}52,
R=\frac{3{,}808}{5{,}52}\approx0{,}689855,\quad R^{2/3}\approx0{,}7805,
F(1{,}36)=3{,}808\times0{,}7805\approx2{,}9719.
Comparando com o alvo 2{,}9700, estamos muito próximos; F(1{,}36) é apenas ligeiramente maior. Uma interpolação entre 1{,}359 e 1{,}360 dá essencialmente o mesmo resultado dentro de três casas decimais. Concluímos que a profundidade é aproximadamente 1{,}36\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo final e verificação rápida de consistência (grau de precisão).
  • Achamos y\approx1{,}36\\ \mathrm{m}.
  • Esse valor produz A\,R^{2/3} muito próximo de 2{,}9700, o que satisfaz a equação de Manning com os dados fornecidos. Isso é coerente com uma ligeira diminuição de largura (de 3{,}00 para 2{,}80\\ \mathrm{m}) implicando um pequeno aumento na profundidade em relação à situação anterior (se existisse).

Resposta

\,1{,}36\\ \mathrm{m}

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