Um canal retangular de
de largura, rugosidade
e declividade de fundo de
transporta, em regime permanente e uniforme uma vazão de
. Em uma determinada seção, a largura é reduzida suavemente para
.
Qual a altura d’água nessa seção?
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos.
- Pede: a altura d’água na seção onde a largura é reduzida suavemente para
. - Dados do enunciado:
- Vazão:
. - Rugosidade (Manning):
. - Declividade do fundo:
. - Largura na seção onde queremos a profundidade:
.
- Vazão:
- Observação importante do enunciado: o escoamento é permanente e uniforme; portanto podemos usar a fórmula de Manning para escoamento uniforme em canal aberto nessa seção.
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada termo.
A fórmula empírica de Manning para escoamento uniforme é
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área de seção molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido como , onde é o perímetro molhado ( ); -
é a declividade do fundo (adimensional).
Para um canal retangular com largura
e profundidade
:
Vou usar essas expressões e resolver a equação de Manning para
.
Passo 3
Calcular o coeficiente multiplicador
que aparece na fórmula (passo numérico).
Primeiro a raiz quadrada da declividade:
O inverso de
é
Multiplicando:
Assim a fórmula de Manning fica numericamente
Passo 4
Isolar a parte que depende de
e definir o objetivo numérico.
Queremos
tal que
Calcule o lado direito numérico:
Portanto devemos encontrar
que satisfaça
com
. Essa equação não é solucionável em forma fechada simples, então faremos resolução numérica por tentativa/iteração (método prático em prova: tentativa dirigida).
Passo 5
Avaliar a função para alguns valores de
(tentativas) e comparar com o alvo
.
Defino a função auxiliar
Tentativa
:
Tentativa
:
Como
e
, a raiz está entre
e
. Vamos refinar.
Tentativa
:
Tentativa
:
Portanto a solução está entre
e
.
Passo 6
Refinar ainda mais por interpolação/tentativa até obter precisão adequada.
Tentativa
:
Comparando com o alvo
, estamos muito próximos;
é apenas ligeiramente maior. Uma interpolação entre
e
dá essencialmente o mesmo resultado dentro de três casas decimais. Concluímos que a profundidade é aproximadamente
.
Passo 7
Resumo final e verificação rápida de consistência (grau de precisão).
- Achamos
. - Esse valor produz
muito próximo de , o que satisfaz a equação de Manning com os dados fornecidos. Isso é coerente com uma ligeira diminuição de largura (de para ) implicando um pequeno aumento na profundidade em relação à situação anterior (se existisse).