Em uma aplicação industrial, é necessário construir um dissipador de calor para elementos transistores. O base do dissipador será uma placa plana de 16 \times 16 \mathrm{~cm}, sobre a qual estarão dispostas 40 aletas retangulares \left(\mathrm{k}=35 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}\right) de 2,0 \mathrm{~mm} de espessura e 50 mm de altura, com espaçamento constante. A superficie da placa deve ter uma temperatura de 80^{\circ} \mathrm{C}, com temperatura ambiente de 25^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de película de 5 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2 . *} \mathrm{C}. Nestas condições, faça um desenho esquemático e calcule:
a) qual é a distáncia entre cada aleta para o projeto.
b) o calor que seria dissipado sem a presença de aletas.
c) a eficiència das aletas;
d) o calor dissipado pelo conjunto após a instalação da placa aletada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e as hipóteses que vou assumir (tudo isto foi extraído do enunciado):
  • Dimensões da base do dissipador: 16\times16\\ \mathrm{cm}. Logo o comprimento em cada direção é L_{\text{placa}}=0,16\\ \mathrm{m}.
  • Número de aletas: N=40.
  • Espessura da aleta: t=2{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Altura da aleta (comprimento da aleta a partir da base): L=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do material das aletas: k=35\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}).
  • Temperatura da superfície da placa (base dos transistores): T_s=80^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película (convecção): h=5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}).
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_s - T_\infty = 80-25=55^\circ\mathrm{C}.
Hipótese geométrica necessária (escolha feita para poder calcular o espaçamento sem outra informação): as 40 aletas estão dispostas paralelas e uniformemente ao longo de uma das dimensões de 0{,}16\\ \mathrm{m} da placa; a aleta percorre a placa na direção perpendicular ao espaçamento (ou seja, o comprimento da aleta na “profundidade” é 0{,}16\\ \mathrm{m}). Vou considerar que o espaçamento entre aletas é constante e que o número de espaços (vãos entre aletas) a considerar é igual a N (esta escolha dá uma expressão simples e é comum em problemas práticos). Assim a soma das larguras das N aletas mais a soma dos N vãos ocupa a largura total 0{,}16\\ \mathrm{m}.
O que o exercício pede:
a) distância entre cada aleta (espaçamento lateral entre faces das aletas);
b) calor dissipado sem as aletas;
c) eficiência das aletas;
d) calor dissipado pelo conjunto após a instalação das aletas.

Passo 2

Cálculo do espaçamento entre as aletas (item a).
Raciocínio: se temos N aletas de espessura t e N vãos iguais de largura S ocupando a largura total L_{\text{placa}}, vale
N t + N S = L_{\text{placa}}.
Isolando S,
S=\frac{L_{\text{placa}}-N t}{N}.
Substituindo os valores:
S=\frac{0{,}16 - 40\cdot 0{,}002}{40}=\frac{0{,}16 - 0{,}08}{40}=\frac{0{,}08}{40}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
Convertendo para mm:
S=2{,}0\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Cálculo do calor dissipado sem aletas (item b).
Fórmula de convecção para superfície plana:
\dot{Q}=h\,A\,\Delta T,
onde A é a área da superfície que troca calor por convecção. Aqui a área da face da placa considerada é
A_{\text{placa}}=0{,}16\cdot 0{,}16=0{,}0256\\ \mathrm{m}^2.
Substituindo:
\dot{Q}_{\text{sem aletas}}=5\cdot 0{,}0256\cdot 55.
Calculando passo a passo:
5\cdot 0{,}0256=0{,}128,\qquad 0{,}128\cdot 55 = 7{,}04.
Logo
\dot{Q}_{\text{sem aletas}}=7{,}04\\ \mathrm{kcal/h}.
Observação didática: a fórmula \dot{Q}=hA\Delta T representa o fluxo de calor por convecção quando a superfície está mantida à temperatura uniforme T_s; h mede a facilidade com que o fluido remove calor da superfície.

Passo 4

Teoria básica das aletas (introdução didática para o item c).
  • Uma aleta é uma extensão de material que amplia área de troca, aumentando a transferência convectiva.
  • Para uma aleta retangular de espessura t, comprimento L (distância da base ao bordo), comprimento lateral (profundidade) w (aqui w=0{,}16\\ \mathrm{m}), a área total da aleta exposta à convecção é
A_f = 2 L w + t w\quad(\text{duas faces laterais e a ponta}).
  • A eficiência da aleta, \eta, é definida como a relação entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base:
\eta=\frac{\dot{Q}_{\text{aleta}}}{h\,A_f\,\Delta T}.
  • Para uma aleta de seção retangular fina, o parâmetro característico é
m=\sqrt{\dfrac{h P}{k A_c}},
onde P é o perímetro molhado da seção e A_c é a área da seção transversal. Para uma aleta retangular fina com profundidade w, P=2w (duas faces) e A_c=t w, daí:
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k t}}.
  • Considerando tip com convecção, usa-se o comprimento característico corrigido L_c=L+\dfrac{t}{2}. A expressão prática (muito usada) para a eficiência da aleta de seção constante é
\eta=\frac{\operatorname{tanh}(m L_c)}{m L_c}.
Vou usar essas fórmulas (elas são derivadas da equação diferencial unidimensional da condução na aleta com termo de convecção nas superfícies).

Passo 5

Cálculo de m. Usando
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k t}},
substituindo h=5, k=35, t=0{,}002:
m=\sqrt{\dfrac{2\cdot 5}{35\cdot 0{,}002}}=\sqrt{\dfrac{10}{0{,}07}}=\sqrt{142{,}857\ldots}=11{,}951\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 6

Cálculo de L_c e do argumento mL_c.
L_c = L + \frac{t}{2} = 0{,}05 + \frac{0{,}002}{2}=0{,}05 + 0{,}001 = 0{,}051\\ \mathrm{m}.
Então
mL_c = 11{,}951\cdot 0{,}051 = 0{,}6095.

Passo 7

Cálculo da eficiência da aleta (item c).
Usando
\eta=\frac{\operatorname{tanh}(m L_c)}{m L_c},
avaliando numericamente mL_c=0{,}6095. Calculando a hiperbólica:
\operatorname{tanh}(0{,}6095)\approx 0{,}5433.
Logo
\eta=\frac{0{,}5433}{0{,}6095}\approx 0{,}891.
Em percentual, \eta\approx 89{,}1\%.
Explicação didática rápida: quando mL_c é pequeno a aleta é quase isoterma e \eta tende a 1; quando mL_c é grande, a perda por condução faz a aleta menos eficiente. Aqui mL_c\approx 0{,}61 indica aletas relativamente eficientes.

Passo 8

Cálculo da área de uma aleta e do calor por aleta.
Área de uma aleta (duas faces laterais mais ponta):
A_f = 2 L w + t w,
onde w=0{,}16\\ \mathrm{m} (profundidade da aleta igual à dimensão da placa). Substituindo:
A_f = 2\cdot 0{,}05\cdot 0{,}16 + 0{,}002\cdot 0{,}16 = 0{,}016 + 0{,}00032 = 0{,}01632\\ \mathrm{m}^2.
Calor retirado por uma aleta:
\dot{Q}_{\text{aleta}}=\eta\,h\,A_f\,\Delta T.
Substituindo numericamente:
\dot{Q}_{\text{aleta}}=0{,}891\cdot 5\cdot 0{,}01632\cdot 55.
Cálculo passo a passo:
5\cdot 0{,}01632 = 0{,}0816, \qquad 0{,}0816\cdot 55 = 4{,}488, \qquad 0{,}891\cdot 4{,}488 \approx 3{,}998\\ \mathrm{kcal/h}.
Arredondando razoavelmente,
\dot{Q}_{\text{aleta}}\approx 4{,}00\\ \mathrm{kcal/h}\\ \text{(por aleta)}.

Passo 9

Calor total dissipado pelas 40 aletas:
\dot{Q}_{\text{aletas}} = N\cdot \dot{Q}_{\text{aleta}} = 40\cdot 3{,}998 \approx 159{,}92\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 10

Calor dissipado pela área exposta da placa entre as aletas após a instalação (a placa já não tem toda a área exposta; as bases das aletas ocupam parte da área).
Área total da face da placa: A_{\text{placa}}=0{,}0256\\ \mathrm{m}^2. Área ocupada pelas bases das aletas:
A_{\text{bases}} = N\cdot t \cdot w = 40\cdot 0{,}002\cdot 0{,}16 = 0{,}0128\\ \mathrm{m}^2.
Área livre (vãos entre aletas) que ainda troca calor diretamente com o ar:
A_{\text{vãos}} = A_{\text{placa}} - A_{\text{bases}} = 0{,}0256 - 0{,}0128 = 0{,}0128\\ \mathrm{m}^2.ã
(Confirmação: com S=0{,}002\\ \mathrm{m} e N=40, a área dos vãos é 40\cdot S\cdot w = 40\cdot 0{,}002\cdot 0{,}16 = 0{,}0128\\ \mathrm{m}^2.)
Calor dos vãos (placa descoberta):
\dot{Q}_{\text{vãos}}=h\,A_{\text{vãos}}\,\Delta T = 5\cdot 0{,}0128\cdot 55.ãã
Calculando:
5\cdot 0{,}0128=0{,}064,\qquad 0{,}064\cdot 55 = 3{,}52.
Logo
\dot{Q}_{\text{vãos}}=3{,}52\\ \mathrm{kcal/h}.ã

Passo 11

Cálculo do calor total do conjunto após instalação das aletas (item d).
\dot{Q}_{\text{total}} = \dot{Q}_{\text{aletas}} + \dot{Q}_{\text{vãos}} \approx 159{,}92 + 3{,}52 = 163{,}44\\ \mathrm{kcal/h}.ã
Comentário interpretativo: comparando com o caso sem aletas \dot{Q}_{\text{sem aletas}}=7{,}04\\ \mathrm{kcal/h}, a instalação das aletas aumentou fortemente a dissipação, porque a área efetiva de troca aumentou muito.

Passo 12

Resumo dos resultados numéricos (preparando a resposta final):
  • Espaçamento entre aletas S=0{,}002\\ \mathrm{m}=2{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Calor dissipado sem aletas \dot{Q}_{\text{sem aletas}}=7{,}04\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Eficiência da aleta \eta\approx 0{,}891 (ou 89{,}1\%).
  • Calor dissipado pelo conjunto com aletas \dot{Q}_{\text{total}}\approx 163{,}44\\ \mathrm{kcal/h}.

Resposta

a) S=0{,}002\\ \mathrm{m}=2{,}0\\ \mathrm{mm}.
b) \dot{Q}_{\text{sem aletas}}=7{,}04\\ \mathrm{kcal/h}.
c) \eta\approx 0{,}891 (ou 89{,}1\%).
d) \dot{Q}_{\text{total}}\approx 163{,}44\\ \mathrm{kcal/h}.

Exercícios relacionados