Em uma aplicação industrial, é necessário construir um dissipador de calor para elementos transistores. O base do dissipador será uma placa plana de
, sobre a qual estarão dispostas 40 aletas retangulares
de
de espessura e 50 mm de altura, com espaçamento constante. A superficie da placa deve ter uma temperatura de
, com temperatura ambiente de
e coeficiente de película de 5
. Nestas condições, faça um desenho esquemático e calcule:
a) qual é a distáncia entre cada aleta para o projeto.
b) o calor que seria dissipado sem a presença de aletas.
c) a eficiència das aletas;
d) o calor dissipado pelo conjunto após a instalação da placa aletada.
a) qual é a distáncia entre cada aleta para o projeto.
b) o calor que seria dissipado sem a presença de aletas.
c) a eficiència das aletas;
d) o calor dissipado pelo conjunto após a instalação da placa aletada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e as hipóteses que vou assumir (tudo isto foi extraído do enunciado):
- Dimensões da base do dissipador:
. Logo o comprimento em cada direção é . - Número de aletas:
. - Espessura da aleta:
. - Altura da aleta (comprimento da aleta a partir da base):
. - Condutividade térmica do material das aletas:
. - Temperatura da superfície da placa (base dos transistores):
. - Temperatura ambiente:
. - Coeficiente de película (convecção):
. - Diferença de temperatura:
.
Hipótese geométrica necessária (escolha feita para poder calcular o espaçamento sem outra informação): as
aletas estão dispostas paralelas e uniformemente ao longo de uma das dimensões de
da placa; a aleta percorre a placa na direção perpendicular ao espaçamento (ou seja, o comprimento da aleta na “profundidade” é
). Vou considerar que o espaçamento entre aletas é constante e que o número de espaços (vãos entre aletas) a considerar é igual a
(esta escolha dá uma expressão simples e é comum em problemas práticos). Assim a soma das larguras das
aletas mais a soma dos
vãos ocupa a largura total
.
O que o exercício pede:
a) distância entre cada aleta (espaçamento lateral entre faces das aletas);
b) calor dissipado sem as aletas;
c) eficiência das aletas;
d) calor dissipado pelo conjunto após a instalação das aletas.
a) distância entre cada aleta (espaçamento lateral entre faces das aletas);
b) calor dissipado sem as aletas;
c) eficiência das aletas;
d) calor dissipado pelo conjunto após a instalação das aletas.
Passo 2
Cálculo do espaçamento entre as aletas (item a).
Raciocínio: se temos aletas de espessura
e
vãos iguais de largura
ocupando a largura total
, vale
Raciocínio: se temos
Isolando
,
Substituindo os valores:
Convertendo para mm:
Passo 3
Cálculo do calor dissipado sem aletas (item b).
Fórmula de convecção para superfície plana:
Fórmula de convecção para superfície plana:
onde
é a área da superfície que troca calor por convecção. Aqui a área da face da placa considerada é
Substituindo:
Calculando passo a passo:
Logo
Observação didática: a fórmula
representa o fluxo de calor por convecção quando a superfície está mantida à temperatura uniforme
;
mede a facilidade com que o fluido remove calor da superfície.
Passo 4
Teoria básica das aletas (introdução didática para o item c).
- Uma aleta é uma extensão de material que amplia área de troca, aumentando a transferência convectiva.
- Para uma aleta retangular de espessura
, comprimento (distância da base ao bordo), comprimento lateral (profundidade) (aqui ), a área total da aleta exposta à convecção é
- A eficiência da aleta,
, é definida como a relação entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base:
- Para uma aleta de seção retangular fina, o parâmetro característico é
onde
é o perímetro molhado da seção e
é a área da seção transversal. Para uma aleta retangular fina com profundidade
,
(duas faces) e
, daí:
- Considerando tip com convecção, usa-se o comprimento característico corrigido
. A expressão prática (muito usada) para a eficiência da aleta de seção constante é
Vou usar essas fórmulas (elas são derivadas da equação diferencial unidimensional da condução na aleta com termo de convecção nas superfícies).
Passo 5
Cálculo de
. Usando
substituindo
,
,
:
Passo 6
Cálculo de
e do argumento
.
Então
Passo 7
Cálculo da eficiência da aleta (item c).
Usando
Usando
avaliando numericamente
. Calculando a hiperbólica:
Logo
Em percentual,
.
Explicação didática rápida: quando
é pequeno a aleta é quase isoterma e
tende a 1; quando
é grande, a perda por condução faz a aleta menos eficiente. Aqui
indica aletas relativamente eficientes.
Passo 8
Cálculo da área de uma aleta e do calor por aleta.
Área de uma aleta (duas faces laterais mais ponta):
Área de uma aleta (duas faces laterais mais ponta):
onde
(profundidade da aleta igual à dimensão da placa). Substituindo:
Calor retirado por uma aleta:
Substituindo numericamente:
Cálculo passo a passo:
Arredondando razoavelmente,
Passo 9
Calor total dissipado pelas
aletas:
Passo 10
Calor dissipado pela área exposta da placa entre as aletas após a instalação (a placa já não tem toda a área exposta; as bases das aletas ocupam parte da área).
Área total da face da placa: . Área ocupada pelas bases das aletas:
Área total da face da placa:
Área livre (vãos entre aletas) que ainda troca calor diretamente com o ar:
(Confirmação: com
e
, a área dos vãos é
.)
Calor dos vãos (placa descoberta):
Calculando:
Logo
Passo 11
Cálculo do calor total do conjunto após instalação das aletas (item d).
Comentário interpretativo: comparando com o caso sem aletas
, a instalação das aletas aumentou fortemente a dissipação, porque a área efetiva de troca aumentou muito.
Passo 12
Resumo dos resultados numéricos (preparando a resposta final):
- Espaçamento entre aletas
. - Calor dissipado sem aletas
. - Eficiência da aleta
(ou ). - Calor dissipado pelo conjunto com aletas
.
Resposta
a)
b)
c) (ou
).
d)
b)
c)
d)